Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 8

{1} – смежный класс, содержащий все положительные и отрицательные числа.

Таблица сложения для смежных классов имеет вид:

В этой таблице легко узнаётся таблица сложения по модулю два. Число элементов группы называется порядком группы.

Пример1.2.2.  Показать,что множество всех двоичных последовательностей длины 3: 000, 001, 010, 011, 100,101, 110, 111 является группой по операции поразрядного сложения по модулю 2.

   Проверим выполнение групповых аксиом для заданной совокупности двоичных последовательностей и заданной       операции.

А.1. Замкнутость

   Поразрядное сложение по модулю 2 дает для суммы любых чисел из заданной совокупности также число из этой совокупности, так как других трехразрядных двоичных чисел не существует.

А.2. Ассоциативность

   Для введенной операции результат сложения не зависит от очередности выбора суммируемых элементов из некоторой ассоциации. Поэтому для неё ассоциативный и коммутативный законы всегда выполняются.

А.3. Наличие единичного элемента

   Единичным элементом является чисто нулевая последовательность 000,так как сложение именно этой последовательности с любой другой в любом порядке не изменяет значения последней.

А.4. Существование обратных элементов

   Для любой двоичной последовательности только сумма с точно такой же последовательностью даст в результате чисто нулевую последовательность,

т.е.каждая двоичная последовательность является для себя обратной.

А.5. Коммутативный закон

   Выполнение коммутативного закона подтверждается пояснениями в А.2.

   На основе проведенного анализа можно сделать следующий вывод:

   При проверке выполнения групповых свойств для некоторого множества двоичных последовательностей достаточно выявить их замкнутость и наличие чисто нулевой последовательности.