Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 50

001 - ортогональна всем последовательностям, содержащим 0 в крайнем справа разряде: 000,001,010,110.

010 -  ортогональна  всем последовательностям,   содержащим  0  в среднем разряде: 000,001,100,101.

011 -   ортогональна всем последовательностям, содержащим только нули или только единицы в двух крайних справа разрядах: 000,011,100,111.

Для остальных последовательностей приведем ортогональные последовательности без пояснений (проверить самостоятельно).

100   -   000,001,010,011.

101   -   000,010,101,111.                 

110   -   000,001,110,111.

111   -   000,011,101,110.

Отметим, что двоичные последовательности с четным числом единиц (в рассмотренном примере – 000, 011,101 и 110) являются самоортогональными.

4.1.4.Задана совокупность двоичных  последовательностей длины 3: 000,001,010,011. Показать, что данная совокупность является подгруппой всех возможных двоичных последовательностей длины 3. Найти совокупность двоичных последовательностей, ортогональных заданной. Показать, что найденная совокупность также является подгруппой всех двоичных последовательностей длины 3. Найти базисы заданной совокупности и ортогональной ей. Показать , что произведение найденных базисов по правилам умножения матриц дает чисто нулевую матрицу.

Решение:

1.Для того, чтобы показать, что совокупность 000, 001,010,011 является подгруппой всех восьми двоичных последовательностей длины 3, необходимо установить, что эта совокупность удовлетворяет групповым аксиомам. Проверка выполнения групповых аксиом сводится к проверке замкнутости элементов совокупности по операции поразрядного сложения по модулю 2 при наличии среди элементов совокупности нулевой последовательности.

   Легко убедиться, что и то, и другое имеет место; при этом порядок подгруппы равен 4, т.е. делит порядок группы.

2.Ортогональными к заданным последовательностям являются последовательности 000 и 100, которые также образуют подгруппу размерности 2 всех двоичных последовательностей длины 3.

3. Базис заданной последовательности представляется матрицей:.

Действительно, все последовательности заданной совокупности могут быть получены как линейная комбинация строк базисной матрицы: