Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 18

Пример 1.4.2.В качестве примера рассмотрим подполя поля GF(2¹²). Число 12 делится на числа 6,4,3 и 2, т.е. в составе поля  GF(2¹²) существуют в качестве подполей поля GF(2⁶), GF(2⁴), GF(2³), GF(2²). Так как любое расширенное поле содержит основное поле, то в каждом из указанных полей содержится поле GF(2). Найдем циклические группы рассматриваемых полей. Обозначим примитивные  элементы  полей:

             GF(2¹²)→α,GF(2⁶)→β,GF(2⁴)→γ,GF(2³)→δ,GF(2²)→ε,GF(2)→ζ.

   Выразим ненулевые элементы полей через степени примитивных элементов:

GF(2¹²):   α¹,   α² ,α³   ,… ,α⁴⁰⁹⁵      =α^-1       =1= α⁰      и порядок   α равен      4095;

GF(2⁶) : β¹ , β² ,β³ ,… ,β⁶³    =β^-1     =1=β⁰  и порядок β равен     63;                 GF(2⁴)  :  γ¹  ,  γ²  ,γ³  ,…  ,γ¹⁵       =γ^-1        =  1=γ⁰    и  порядок γ   равен         15; GF(2³)  : δ¹,  δ²  ,δ³ ,…  ,δ⁷        =δ^-1        = 1=δ⁰    и порядок  δ   равен        7; GF(2²)  :  ε¹,  ε²    ,ε³                 =ε^-1       =  1=ε⁰   и порядок  ε    равен          3; GF(2)   :   ζ¹                                =  ζ^-1            =1 =  ζ⁰     и порядок  ζ     равен          1.