Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 26

f7(x) = (x+α7)(x+α11)(x+α13)(x+214).

Корни этих многочленов являются элементами поля GF(24).С учетом правил сложения и умножения в этом поле простым умножением находим:

                            f1(x) = 1+x+x4,

f7(x) = 1+x3+x4.

Многочлены f1(x) и f7(х) относятся к двойственным (взаимным) многочленам.

         Многочлен f*(x), двойственный некоторому многочлену f (x), определяется как  f*(x) = хmf(1/х), где m-степень f(x).

Для двойственных многочленов f *(x) и f(x) справедливо:

         1.Корни f*(x) обратны корням f(x).

         2.Многочлен f*(x) неприводим тогда и только тогда, когда неприводим f(x).

         3.Если f(x) неприводим, то f(x) и f*(x) принадлежат к одному и тому же показателю.

Порядок корней неприводимого многочлена называется показателем , которому этот многочлен принадлежит . Если неприводимый многочлен принадлежит показателю е , то он является делителем многочлена хе-1,но не является делителем никакого многочлена хn-1 при n<e.

         4.Многочлен f*(x) примитивен тогда и только тогда, когда примитивен f(x).

Показатель,  которому принадлежит многочлен, находится следующим образом. Пусть α – примитивный элемент GF(2m).

Тогда прядок e элемента αj равен:

 e = (2m-1)/HOD(2m-1, j),

с другой стороны , порядок e элемента αj указывает минимальную степень многочлена Хe-1, делителем которого является неприводимый многочлен,для которого j есть корень. Здесь НОД – наибольший общий делитель.