Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 31

Например, для n = 9 и p = 2 имеем 3 циклотомических класса:

                                    С0(9) = {0},

                                    C1(9) = {1, 2, 3, 4, 8, 7, 5},

                                    C3(9) = {3, 6}.

     Это значит, что х⁹-1 над двоичным полем разлагается на 3 неприводимых сомножителя: один первой степени (х+1), один второй степени (х²+х+1) и один шестой степени.При этом порядок корней многочлена 2-й степени равен 3,т.к. х²+х+1 принадлежит показателю 3 ,а порядок корней неприводимого многочлена 6-й степени равен 9 (принадлежит показателю 9).

      В соответствии с сформулированными выше правилами х⁹-1 является сомножителем Х-1 ,т.к. класс С1(9) содержит 6 чисел, и корни х⁹-1 могут быть выражены в виде степеней примитивного элемента поля GF(2⁶).

      Определим порядок пересчета корней Х-1 в элементы поля GF(p^m),т.е. найдем какие корни Х-1 являются корнями х-1, при условии, конечно, что nj меньше n и является его сомножителем .

      Если порядок корней Хⁿ-1 есть е, а порядок корней его сомножителей, принадлежащих  показателю nj, т.е. входящих в разложение Х-1, где nj<n, равен , то, очевидно,

Следовательно, циклотомическому классу  по модулю 9 -  С₁₍₉₎ = {1, 2, 4, 8, 7, 5} соответствует по модулю 63 циклотомический класс С₇₍₆₃₎ = {7,14, 28, 56, 49, 35} т.к. j =  = 7, а циклотомичекому классу С₃₍₉₎ = {3,6} соответствует циклотомический класс  С₂₁₍₆₃₎  = {21, 42}.