Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 43

а)f(x)=x³+1;

б)f(x)=x⁷+1.

3.3. Упражнение № 3

Тема: Теорема Ферма и циклотомические классы.

Время: 2 часа.

Цель: научиться находить число неприводимых сомножителей многочленов вида хⁿ-1, их степени и последовательности их корней. Получить навыки в формировании циклотомических классов, определении показателей, которым принадлежат неприводимые многочлены, нахождении их корней.

Изучаемые вопросы:

1.  Теорема Ферма.

2.  Признаки делимости двучленов.

3.  Корни неприводимых многочленов и циклотомические классы многочленов вида хⁿ-1 для случаев:

1)  n=p^m-1;

2)  n – любое целое число

4.  Степени неприводимых многочленов в разложении хⁿ-1 на неприводимые сомножители.

5.  Минимальные и двойственные многочлены.

Литература:

1.  Часть 1, п.п. 2.1, 2.2,2.3.

Перечень задач для проверки степени усвоения вопросов упражнения.

3.3.1.Перечислить все многочлены степени n над полем GF(2), представить их в виде неприводимых сомножителей и определить показатели, к которым эти многочлены принадлежат.

a)  n=2,

б)  n=3,

в)  n=4,

г)  n=5.

3.3.2.Определить показатели, которым принадлежат многочлены над полем GF(2)

а)  х⁸+ х⁷+ х⁵+ х⁴+ х³+ х+1,

б)  х⁷+ х³+ х+1,

в)  х⁶+ х⁵+ х⁴+ х³+ х²+ х+1

и указать их неприводимые сомножители.

3.3.3.Определить число и степени неприводимых сомножителей многочленов над полем GF(2):

Х⁸+1, Х⁹+1, Х¹⁰+1, Х¹¹+1, Х¹²+1, Х¹³+1, Х¹⁴+1, Х¹⁵+1, Х¹⁶+1, Х¹⁷+1, Х¹⁸+1,Х¹⁹+1,Х²⁰+1,  Х²¹+1, Х²²+1, Х²³+1.

3.3.4.Определить все неприводимые сомножители двучленов: