Курс практических занятий по теме «Циклические коды» дисциплины «Передача дискретных сообщений», страница 34

Многочлены получены из таблиц, приведенных в [1] и помещенных в качестве приложения к настоящему пособию . Правила пользования таблицами приводятся ниже .

Анализ приведенных в Таблице 2.4.1 многочленов показывает, что в разложение  входят многочлены 1, 2, 3 и 6 степеней. Эти числа представляют все делители числа 6.

Порядок корней многочленов указывает, какому показателю принадлежат многочлены.

              Если воспользоваться функцией Эйлера, то можно определить число элементов поля GF(2⁶), принадлежащих указаниям в таблице порядкам 1, 3, 7, 9, 21, 63.

Действительно:

                          φ(1) = 1 - это один корень  х+1,

                          φ(3) = 2 - это два корня  х²+х³+1,

                          φ(7) = 6 - это корни двойственных многочленов  х³+х²+1 и х³+х+1,

                          φ(9) = 6 - это корни самодвойственного многочлена  х⁶+х+1,

                          φ(21) =12 – это корни двойственных многочленов:  х⁶+х⁴+х²+х+1 и  х⁶+х⁵+х⁴+х²+1,

                          φ(63) = 32 - это корни 6 примитивных попарно двойственных многочленов:

                        х⁶+х+1 и х⁶+х⁵+1,

                        х⁶+х⁵+х²+х+1 и х⁶+х⁵+х⁴+х+1,

                        х⁶+х⁵+х³+х²+1 и х⁶+х⁴+х³+х+1.

              На этом процесс разложения х⁶³+1 на неприводимые сомножители завершен.

Пример 2.4.2. Построить циклотомические классы по модулю степеней двучленов, делящих Х⁶³+1.

1.Х +1, j = 63,        С₀₍₁₎ = {0 = 1} ,                С₀₍₆₃₎  = {0 = 63}.

2.Х³+1, j = 21,        С₀₍₃₎ = {0 = 3} ,                С₀₍₆₃₎  = {0 = 63}.

                                С₁₍₃₎ = {1, 2}   ,                 С₂₁₍₆₃₎= {21, 42}.

3.Х⁷+1, j =   9,        С₀₍₇₎ = {0  =7} ,                 С₀₍₆₃₎  =  {0 = 63}.