Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 77

Учытывая колебательный характер газопотребления, выбе­рем в качестве базисных функций периодические составляющие sincoj^, coscoj^, тогда прогнозируемый процесс представится в виде:

х (t) = V C_t (cos a>it + sin ©,Q.                                                                                       (V. 12)

t=0

Применив к (V.12) группу трансляций Т_х, легко получить 1 ...       О        0     ...       О         О О ...   coso)_aT sin<o_aT ...       О         О

(V.13)

Из (V.13) видно, что D_a.T представляет собой суперматри­цу, т. е. дает неприводимое представление группы. Уместно здесь поставить обратную задачу. По найденной суперматрице неприводимого представления D_a,x найти ту группу преобразо­ваний, которую эта матрица представляет.

Как следует из представлений

— Sin CO_aT COS GO_aT

характеристикой является группа вращений. Таким образом, при использовании в качестве базисов периодических составля­ющих экстраполяционные преобразования группы трансляций Т_а превращаются в группу вращения R_T. Группу вращения можно рассматривать как полупростую группу Ли с инфини-тезимальным оператором вида

т          д             д

Ь = У-------- х—

дх           ду

По инфинитезимальным операторам (V.13) можно легко по­строить инварианты (функции, остающиеся неизменными при действии данной группы преобразований). Так, для группы вращения имеем

Знание инвариантов дает нам метод обоснованного выбора базисных функций для построения модели экстраполяции. Так,

148

авторы, основываясь на данных работы [17], для графика газо-потребления рассчитали на различных интервалах наблюдений Xi = aicos<jiit и yi=bism<Dit путем разложения процесса газо­потребления в ряд Фурье по схеме Рунге для 24 ординат. Ана­лиз величины J=^x?i+г/²_г- показал ее значительную устойчивость, что еще раз подтвердило правильность выбора в качестве ба­зисных функций периодических составляющих. Несмотря на то что (V.15) использована в работе для частного случая — про­цесса газопотребления, указанную идею можно рекомендовать в качестве общего приема обоснованного выбора базисных функций для произвольного случайного процесса, подлежащего экстраполяции.

Для получения вычислительного алгоритма прогнозирова­ния процесса газопотребления представим (V.12) в векторной форме:

*(*)== £?(*)).                             '                                                   (V.16)

где с, ф — элементы эвклидова пространства; (с, y(t)) —опера­ция скалярного произведения.

Для оценки вектора коэффициентов с будем использовать обучающую выборку путем экстраполяции «назад» по методу обобщенного экспоненциального сглаживания [16]. В качестве критерия обучения выбран средний квадратический функцио­нал:

Д= \\Wx~ ??||², где

x = {x(t— 1), x(t — 2), . . .,x(t — a)};
?                           —2), . . .

а — интервал предыстории обучающейся выборки.

Будем решать задачу минимизации (V.17) методом обоб-                                                                                        \

щенного наискорейшего спуска. Для этого вычислим градиент                                                                                             |

функционала (V.17)                                                                                             |

У#(с)=Л?"—g.                                                                             (V.I 8)                                                                             I

Значение градиента в начальной точке принимается за на-                                                                                             1
правление наискорейшего спуска:

?= Fww'f';   g=xww'F^f.                                                                                                                                             (V.I 9)