Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 71

V_k(k) = тт\М [(x'k+iQk+iXk+i + u'_kR_ku_k)fz^k] -f-  •

+     minAf     |(   V x'_tQ_tx_t+ Ut-iR_t~iu_t-iW, wj].  (IV.55)

^Uk+V ■ ■ ■ >^uN-l L\ t^+2                              )                                                                     JJ

Используя (IV.52), легко (IV.55) преобразовать к виду Ml    гшпЛГ       Г  V x_tQ_tx_t-\-Ut-iRt-iUt-i/z^k,u_k) 1 =

= М \V_N (k + 1 )/zK «_ft},                                                                                       (IV.56)

V_N (k) ± min M {(4+1^+1^+1 -f ulR_ku_k + ^лг (^ + *)/**» «J.

(IV.57)

Полученное соотношение (IV.57) и является рекуррентным функциональным уравнением динамического программирова­ния, которое будет использовано нами для синтеза оптималь­ной системы управления запасами.

Рассмотрим синтез оптимального управления на последнем (N—-\)-мшаге,   для   которого,   функциональное   уравнение примет вид

 = min M {x'_NQ_Nx?_N + u'n-iRn^Un-xIz^¹}.      (IV.58)

«ЛГ-1

Выразим x_N через Un-u используя уравнение состояния:

^ = Фл^-1^лг-1 + t^v-i«^-i + Гаг—iOB»iv—i -                                                                                        (IV. 59)

Подставляя (IV.59) в (IV.58), получим

 l)=       min       M

 $                            X

'\+2w_N-_lT_N.-_lQ_N$_N-.iU_N-_l]lz^N-^l\.                                                                                                                                                     (IV.60)

Учитывая статистическую независимость x_N-i, Wn-u а так­же то, что M{W_N-i} = 0, получим

М [ZXN-l&N-liiN-lTN-lWi-l] = 0.

В свою очередь, требование физической реализуемости в случае нерандомизированной стратегии означает, что является детерминированной функцией вида (IV.51).

134

3 силу статистической независимости w% и г* для всех />7, j—i, 2, ..., N—1 следует, что

M{2W'_N^r_N^Q_N%~iUN^\^0.^                                                                                       (IV.62)

Кроме того, из соотношения (IV,52) следует М {

u

/-/   ~     -                            \         л/—»                                           (IV.оо)

Л* \u_N-i (^-iQat-i^-i + /?лг)      /      }

Обозначим условное математическое ожидание вектора со-стояния х:

x_N^ = М {хх-г/г"'¹}.                                                                                       (IV.64)

Тогда (IV.60) можно переписать в виде V_N (N — 1) = rriin

 ^^                                      ..,...,.                                           (IV.65)

Так как выражение, стоящее в первой квадратной скобке, не зависит от u_N-_u то цолучим следующее уравнение для вы­числения оптимального управления:

V_N (N — 1) = min {им №n-iQn4>n-i + Rn-i) u_N-i

^uN-l

 '    ,     ;•..■■ \-                                             (IV.66)

c-ткуда необходимое условие экстремума. легко получить, ис­пользуя правила векторного дифференцирования:

-l&N-lQN-ltyN-l ='0         (IV.67)

или сокращение:

Aftv-i = 6,                           ■                                            (IV.68)

где^r- -         V■'■■    .   ■< ■   ■■..

A = ^>n-iQn^>n-i -\-Rn-i-                                                                  •'-■■■"

Таким образом, для нахождения оптимального управления Un-i требуется обращение матрицы А. Так кар матрица Л яв­ляется вырожденной (следует из наличия запаздываний в си­стеме), обычное обращен»© невозможно, поэтому будем исполь­зовать псевдообращение по Муру—Пенроузу.

135