Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 100

процедура движения по наиболее коррткому пути в направле­нии градиента функции отклика к почти стационарной области называется крутым восхождением. При этом методе место сле­дующей группы экспериментов определяется по направлению градиента, причем направление изменяется от точки к точке, но в каждой точке определяется единственным образом. Это нап­равление совпадает с направлением касательной в данной точ­ке к поверхности отклика.

Если произвольную функцию в окрестности выбранной точки разложить в ряд Тейлора

У = Ре + Pi*i + Р₂*₂ +...+ §_пх_п -Ь р₁₂ед + • • • +

(VIЛ 2)

где ро = # (0, 0..., 0) —значение функции отклика в начале коор­динат;

л,-

и т. д. и ограничиться линейной частью разложения (для доста­точно малых отклонений члены более высокого порядка пренеб­режимо малы по сравнению с линейными членами, поэтому ими можно пренебречь), то получим уравнение прямой (касательной в выбранной точке к кривой) в виде отрезка ряда Тейлора (VI.14), угловой коэффициент которой р_г- и есть тангенс угла наклона касательной к оси х. Абсолютная величина тангенса угла наклона показывает степень влияния каждого фактора, а знак — направление градиента. Поэтому начальный этап пла­нирования эксперимента в крутом восхождении начинается с нахождения линейной модели локального участка поверхности етклика.

Метод полного факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в не­которой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки в виде отрезка ряда Тейлора.

Следует отметить, что коэффициенты (VIЛ2) определяются на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчерк­нуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов р, обо­значающих истинные значения коэффициентов, пишут Ь, подра­зумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

192

Итак, с помощью полного факторного   эксперимента   ищут математическое описание процесса в виде уравнения

у « b₀ + b_lXl + b₂x₂ + . . . + b_nx_n.                                                                                        (VI.13)

Эксперимент с равным числом уровней для всех факторов, в котором реализуются все комбинации уровней, является пол­ным факторным экспериментом. Число опытов в полном фактор­ном эксперименте равно N=p^h, где р — число уровней; k — число факторов.

Первый этап планирования эксперимента для получения ли­нейной модели y=b_o + biXi-hb₂X2 основан на варьировании фак­торов на двух уровнях ( + 1, —1).

В этом случае число опытов N,=2^k = 2²~4. Матрица плани­рования эксперимента 2² приведена в табл. VI.7.

Если число факторов увеличить до трех, то N—2³=$. Матри­ца планирования легко получается из двух факторов.