Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 119

 Т

о-

 TL \\fS_tl    ||ф||        ||   0

Г1U\ ⁺iII"⁺ II->-

 ГГ |] Г w_lt

-II[£

 1

]

rank х = rank Ц ф j Ф ф;.. ; Ф""¹ ф II = п,........................................ (2)

где п=П1+щ — порядок системы.

Простая проверка показывает, что ранг критериальной матрицы X меньше п и, следовательно, система неуправляема. Физически это объяс­няется тем, что в системе содержится неуправляемая подсистема порядка л₃, определенная уравнением формирующих фильтров возмущений. Для то­го чтобы избежать этой некорректности, вводится более гибкое понятие «стабилизируемости» системы.

Стационарная система является стабилизируемой, если подсистема фор­мирующих фильтров асимптотически устойчива [49].

Критерием асимптотической устойчивости фильтров является следующее

условие [50]: для любых Ф, ф найдется такая матрица G, что все собст­венные числа ||Ф+(?ф|| лежат внутри единичного круга комплексной плоско­сти. Построим матрицу ||Ф+бф|| для системы (IV.43):

 +■ СФ =

(3)

Из (IV.91) вытекает, что для стабилизируемости (IV.47) достаточно, чтобы была управляема система

St+i = ^st + №*                                                                                                    (4)

так как при этом всегда можно соответствующим выбором GM получить собственные числа матрицы (I+tyGW) внутри единичного круга. Отсюда по­лучаем следующее условие стабилизируемости системы (IV.47):

rank ф = п_х,                                                                                                    (5)

что и требовалось доказать.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 1 уравнение имеет положительно определенное   стационарное   решение   \\m.w(t)=W,   которое

t -+-ОО

согласно (IV.89) определяет постоянную матрицу: С = (ф'^ф -j- ф-^фЧРФ.

Сформулируем и докажем теорему, устанавливающую условия, при ко­торых система (IV.47) будет полностью наблюдаема.

Теорема 2. Стационарная система (IV.47) полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия

235

rank H^ = n_{lt                                                                                                                                                                               (6})

rank || V \ F'L' \...\ {F')ⁿ*-^lL' \\ Г = n₃.                                                                                                    (7)

_ доказательства теоремы 2 воспользуемся [50]. Представим матри-

цы Ф и я|з в виде

ф₂₂

где Фп, Ф_]2— матрицы порядка #iX«i: п₃Хпз — соответственно; i|) — матри­ца порядка щХп_и причем гапМз=ль

В этом случае пара (Ф, я|э) управляема тогда и только тогда, когда управляема пара (Ф₂2, Ф21). В связи с тем, что критерии управляемости и наблюдаемости связаны соотношениями дуальности  [49], можем записать

/ ; о

_игГ¥г

При условии, что гапкЯ^)=яь матрицы (8) удовлетворяют разложе­нию [50] и, следовательно, система (IV.47) наблюдаема тогда и только тогда, когда управляема пара (F^f, L'T^r), т. е.

rank* = rank || LT'iLT' j-..;(F')"«-¹L'r' |l = «₃,

что и требовалось доказать.

Таким образом, при выполнении условий теоремы 2 уравнение (IV.92) имеет положительно определенное стационарное решение HmM(t)=M, ко-

t-t-оа

торое согласно (IV.90) определяет постоянную матрицу K=MN(HMH^/+ V).