Промышленность \ Добыча, хранение и транспортировка нефти и газа

Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 72


Для вычисления Vn(N—1) подставим (IV.70) в (IV.69), тогда после несложных преобразований получим

(;VN (N — 1) = М [x'n-i&n-iQi&n-iXn-i ~r 2xN-№n-*\Qn X X %n-.iQnOn-iXn-i


Оббзначим отклонение действительного значения вектора  со-

стояния Jfjv-i от условного   математического ожидания   Xjv-t через xjv-ii а через Yiv-i—матрицу вида      г

7^-1=5^-1^-1%-!^-    ,                                                                                       (IV.73)

Тогда (IV.71) запишется в "виде

VN\N— \) = M {x'N^iOfN-i(QN — 7*-i}<6v-i*jv-.i/+

+ ^_1Ф^_17лг-1Ф^_1^-1 + Wm-\ Тм-& Tn-iWn_i }.        (IV.74)
'    Введя обозначения                                 .

-i = 0>n~i (On


 Y

-f- Wn-\ Yn-iQn-1 ^N—l^N—lf

запишем VN(N—l) в^ виде

^   Vn{N— I) = M {xn~\Pn-\Xn~iA- oiN-iix, w))^                                                                                             (IV.76)

Отсюда можем   записать   критерий   оптимальности -для
(N—2)-го шага:                           V                                                    -

136


VN (N — 2) = min min M {xN-iQNxN-\ + uN-2Rn-2Un-2 +

uN—2 uN—\

+ .xnQnxn + Un-\Rn-\Un-\\.                                                                                                                                           (IV. 77)

На основании принципа оптимальности и с учетом (IV.77) можно записать

VN(N — 2) = min M [x'N-№n-iXN-i + un-2Rn-&n-2-\-

UN~2

^(x, w)),                                                   ,                                                                  (IV.78}

где WN-iQ

Далее необходимо подставить в (IV.78) xN-2, выраженное
через uN-2, и повторить преобразования, подобные приведен*
ным ранее для (N—1)-го шага. Опуская промежуточные вы­
кладки, можно записать;                         J     ;   ■

UN-2 « — GN-2XN-2,(IV.79)

где""                                                                                                                                                                                                  .   ■■' .:    ■' ,1'., ■■■..■■: ■:-.

GjV-2 ■='ПЛ'-2'Фл?-21^Лг-1Ф^-2,

Значение критерия будет иметь вид
,   VN(N—2) = М \x'N-t2Pn~2 + «л^-2 (х, w)},                                                                                                         (IVЩ

где ,    ■. -.■■ ■. -     ■......    ■.■;■ .  ■■ : ■ ■ . •■:.■■

Аналогично, используя метод математической индукции, най­дем оптимальные управления на (N—/)-мшаге:

где

 (IV.82>

4 = M {xn-j

/=1, 2, . . . ,#.

■ "»■.■■■

 Начальные условия имеют вид

13T


Таким образом, соотношения (IV,82) показывают, что син­тез оптимальной системы управления запасами сводится к ре­шению двух задач: 1) вычислению матриц Gn-j', 2) текущей обработке информации с целью получения условного матема­тического ожидания М{xN-j/zN~j} вектора состояния.

Теперь остановимся на процедуре обработки текущей иц-

.•-••.

формации для получения оценок x(t)  на основе вектора на­блюдений zV\

Рассмотрим систему (IV.47):

Фильтр Калмана—Бьюси для этой системы имеет вид

 (IV.83)

где


 (IV.84)

kt = NLfft (HtMfl't +

 Tt

i = Ot[I - MtH't (HtMtHt + Vt)~x Ht

(IV.85)

Mt — ковариационная матрица ошибки одношагового прогноза;

tt+i/t = хЧ+i—x^+i/t;                                                                                       (IV.86)

kt — матрица оптимальных весовых коэффициентов фильтра.
Поскольку матрица HtMtHt+Vt является вырожденной, то
предлагается использовать операцию псевдообращения
матриц.                                            '•      i

Теперь объединим все вместе для получения замкнутой си­стемы управления запасами, для чего выпишем совместно все полученные соотношения и исходные уравнения состояния:

u(t) = -G(t)x(t)

x\t + 1) = Ф*(0 +ф«(t) +k(t'+l) [z{t + 1) -

(IV.87)

Рассматривая совместно уравнения системы (1У.87), легко найдем уравнения закона управления для замкнутой системы:

Скачать файл