Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 112

ЛЛЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ РАЗЛОЖЕНИЕ ИСХОДНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ЛО НАПРАВЛЕНИЮ

Запишем систему уравнений (VII.3)

дх dt

Это же можно записать и сокращенно в виде одного                                                                             оператора

А(р) = 0                                                             (VII .21)

«с условиями на границе

х = 0,   #i(p)=/ij                                                   (VII.22)

В силу достаточной гладкости операторов Л, Ru R2 (имеется в виду их дифференцируемость по Гато) их можно разложить в ряд Тейлора по некоторому направлению р°.

Тогда, давая операторам Л, R_iy R₂ некоторые приращения в направлении р°, можем записать их в виде

А(р + р») = Л (р) + А'_рор« + о_г Ri (Р + Р°) = Ri (P) Л-  i Rs (Р + Р°) = /?, (Р) -f

где А'_р0, R'_lpB   R'_2p0—производные Гато операторов по направ­лению р° в точке р.

Найдем нули (решения) оператора А(р-\-р°) при граничных условиях

Если учесть    при   этом   исходное   разложение (VII.21), (VII.22), то легко получить следующие соотношения:

(VII.23)

(Р)Р° = &-" Вычислим теперь производные Гато от операторов Л, Ru Rz-

X

(р)р» = lim-

s-+0

..    (др°               д _w

₈_*o    dt            дх

Разложим первое слагаемое в квадратных скобках в ряд Тейлора, беря в качестве аргумента z=dp²/dx, а в качестве приращения аргумента

дх

 ох

Тогда, проделав ряд преобразований и перейдя к пределу, окончательно получим

дх

d(pp^Q) дх

(VII.24)

Аналогично находятся

219

В случае смешанной краевой задачи имеем

____________ 1               д[р(х₉ t)p°(x, Q]

др*(х. t)

x=L

x—L

(VII.25)

Для случая второй краевой задачи (оба граничных условия по расходу) будем иметь