Промышленность \ Добыча, хранение и транспортировка нефти и газа

Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 111

Р(*)<Ф (*)<«(*).


 (VII, 17)




Кроме того, а (л:),   р(х)   удовлетворяют   дополнительным условиям:

д ~дх~\

1   да? (х) В

 дх

 (X)

В     дх

д

"дх


/4

да? (х) дх


о,


 (х)

дх


(VII.18)


В      дх

В частном случае для стационарного режима транспорта при

/ = о -*- а (х) = ф (х) = р (х). Следовательно, по теореме 1 имеем р(х, т) < limp (л;, т).


, т)

Отсюда имеем р(х, t)<

t-*-oo

для всех *е[0, L].

Из условий существования стационарного решения


limp(*f т) « /у\(t) + Bxyl (t) .


215


Следовательно,                                                                                            , t

Р (х, т) < Yy\ (t) + Вху\ (t). И, полагая, % = t, получим

Рассуждая аналогично, можно получить и нижнюю грань p(x,t)>

Если при /=0 режим стационарный, то р(х, 0)=ф(л;) удов­летворяет всем требованиям, предъявляемым к а(х), $(х). Кроме того, из условий согласования на границах имеем

Следовательно, в этом случае   выражения   для yi можно упростить:

т);  y2(t) = minft (т);

что и требовалось доказать.

Остановимся на некоторых практических аспектах теоре мы 3.

Рассмотрим выражение

На практике при соответствующем выборе $(х) всегда можно-

добиться, чтобы */f(0+fo/4(0>0- Нетрудно видеть также, что точность оценок тем лучше, чем меньше величины

Важное практическое применение теоремьг 3 вытекает из возможности оценивать с ее помощью погрешности линеари­зации исходной нелинейной системы (VII.3) или (VII.4). Пока­жем, как это можно сделать. .........

Пусть р(х, t) —точное решение системы (VII.3), а ря(х, t)—решение линеаризованной тем или иным способом систе­мы (VII.3). Введем функцию ошибки линеаризации   l(x, t) —

218


*=\p(x, t)—pn{xt t)\. Так как, согласно доказанной теореме 3,. имеем

р(х, /)</?(*, *)<р(#, Д то можем записать

,р(х, t)Kp(x, f)<p(x, t),   %{x, /)<max| Ф— рл(х, t) \,
®6[p(x,t),  p(x,t)].                             .                                                         (VIL19>

После несложных преобразований (VII. 19) легко привести к виду

' l(x, /)<max{|/7(*, t)—PjI(x,t) \,--\p(x, t)—pa(x;t)\}.(VlL2O}

Соотношение (VII.20) и будем использовать как рабочее при оценке погрешностей различных методов линеаризации.

Для иллюстрации теорем Г, 2, 3 рассмотрим несколько ме­тодов линеаризации, для чего запишем уравнения. (VII.2) в более компактном виде:


dp*

— BO2

дх

— V

dp

-A dQ

■ >

dt

~~     дх  .

где

A

4C2 tgnd* *

R        16

ij —i         ■

(VII.3a>


Q — массовый расхрд газа.

Анализ, проведенный в [47], показывает, что наилучшими
с точки зрения минимума максимальной погрешности, являют­
ся методы линеаризации^ основанные на следующих двух до­
пущениях:                      ■■*■■'

fas)

ср

ЕЛ  =

Проверим эффективность теоремы 3 на примере одного из методов линеаризации.

Для этой цели был рассмотрен следующий пример для ре­ального газопровода со смешанными граничными условиями:

р(х, 0) = <р(*, 0)= Ур% +BQlx.

217


Исходные параметры эксплуатации следующие: jL=105 m; ^=0,0112; d = 0,7 м; р = 0,6; Гср = 293 К; z = 0,91; ро = 4О кгс/см*; <?о=ЮО м3/с; Ci = 66-10-4 (кгс/см2)/с; С2 = 12-10~3 м3/с; 0^^7200 с.

Оценка погрешности линеаризации £(*, t) приведена для трех характерных зон газопровода — начала, середины и конца.

В табл. VII. 1 приведены максимальные погрешности линеа­ризации.

ТаблицаVII. 1

Скачать файл