Методы повышения эффективности процессов добычи и транспорта газа, страница 76

Экстраполируемые значения как бы симметричны со значе­ниями предыстории относительно начального момента экстра­поляции. Поэтому можно утверждать, что экстраполяционные соотношения, представляющие собой некоторую систему пре­образований значений предыстории в прогнозируемое значение процесса, также обладают свойством симметрии. Иными слова­ми, в принципе любые экстраполяционные преобразования зна­чений случайного процесса образуют группу преобразований, т. е. экстраполяционные преобразования {7\(x)} случайного процесса удовлетворяют системе аксиом Ti(x)^G, если

1)  для любых «i» существует Tj¹ (х);

2)  существует Е = ТгТ~^г {х);

3)  для любых i, j существует

Экстраполяционные преобразования {Тг(х)} можно рас­сматривать как группы преобразований — полупростые группы Ли, либо как дискретные группы преобразований со счетным множеством индексов i. Тот или иной способ рассмотрения зависит от конкретной решаемой задачи.

Простейшей группой экстраполяционных преобразований являются, очевидно, преобразования трансляций по параметру временного сдвига т. Нетрудно убедиться, что трансляционные преобразования Т_х удовлетворяют всем трем аксиомам, и, следовательно, образуют группу. Применив группу трансляций Т_х к системе базисных функций <р_а(0» являющихся собствен­ными функциями автокорреляционного оператора R(t, т), по­лучим

тФ_в(т).(V.9)

а

Соотношение (V.9) следует из того факта, что в силу сим­метричности преобразования Т_х функции Т_х, ф_т (t) не могут отличаться от функций <ра(О существенно, а поэтому Г_тф_т (t) также должны быть собственными функциями автокорреляци­онного оператора R(t, т), которые можно разложить по вы-

14G

бранной системе базисов. Здесь D_a,%— некоторая матрица ко­эффициентов, не зависящая от t, но зависящая от параметра т.

Нетрудно показать, что матрицы D_a,x по параметру а также обладают групповым свойством. Матрицы D_a,x называются: представлением (точнее линейным представлением) группы Т_т.. Поэтому всегда можно утверждать, что произвольные базисные функции порождают некоторую группу матриц. Наличие пред­ставлений, связанных с определенной системой базисов, во многих случаях может значительно упростить решение экстра-поляционных задач.

Рассмотрим задачу линейной экстраполяции для процесса! газопотребления:

где <pk(t)—совокупность собственных функций, выбранных в качестве базисных; Съ_!% — коэффициенты разложения по бази­сам.

Воздействуем на (V.10) некоторой группой преобразований:

Т_ах (т) = f\ С_кл Т_аЪ (t) = \\ С_кл V D_v,_acp_v (t) =

А1                                         *1                       l

А—1                                     *=1         v=l

(C-^lDC) _р

Таким образом, из (V. 11) видим, что преобразование исход­ного случайного процесса на языке теории представлений групп эквивалентно подобному преобразованию матрицы Ck,% — ко­эффициентов разложений.

Легко доказать, что N=C~^l DC также образуют группу, и, следовательно, являются представлением для группы Т_а. По­добные преобразования матриц используются для упрощения представлений групп. Важную роль в теории представлений групп играют так называемые неприводимые представления групп, записываемые в виде суперматриц:

О \

к неприводимым. Поскольку при применении экстраполяцион-ных процедур всегда приходится иметь дело с обращением матриц, порождаемых базисными функциями, то отыскание неприводимых представлений уже на первом этапе значительно упрощает задачу. Используем теорию представлений групп для разработки эффективного алгоритма прогнозирования газо­потребления.