Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 9

,     .

Через физические компоненты представим и квадрат модуля вектора

.

Следовательно, модуль вектора и его направление относительно элементов базиса в точке приложения вектора определяются формулами

,                 .                                                                        (7.12)

8. Представление движения точки в ортогональной системе.

Установим уравнения движения точки в ортогональной криволинейной системе координат и на их основе укажем способы вычисления ее скорости и ускорения.

1°. Уравнения движения точки.

В декартовых координатах уравнения движения точки имели вид . Поскольку криволинейные координаты являются функциями декартовых, то они также будут изменяться со временем

            .                                                          (8.1)

Эти функции и называют уравнениями движения точки в криволинейных координатах. Эти равенства дают также параметрические уравнения траектории точки.

Основываясь на допущениях относительно функций  и  найдем, что сложные функции (8.1) . Производные  и  называют соответственно криволинейными скоростями и криволинейными ускорениями. Ниже будет показано, что через них можно выразить обычные скорость и ускорение.

2°. Вычисление скорости точки.

При рассмотрении движения точки в криволинейных координатах вектор-радиус зависит от времени через посредство этих координат .Поэтому согласно определению скорости будем иметь выражение

.                                                                                        (8.2)

Вектор скорости может быть представлен также через свои физические компоненты в виде . Из этих двух представлений в силу единственности следует, что физические компоненты скорости определяются в виде

   .                                                                                                         (8.3)

То есть физические компоненты скорости пропорциональны соответствующим криволинейным скоростям, причем коэффициентами пропорциональности служат коэффициенты Ламе.

Модуль вектора скорости и его направление относительно элементов базиса определяются формулами вида (7.12):

,     .                                                                                     (8.4)

3°. Определение движения точки по скорости и начальному положению.

Пусть известны физические компоненты скорости точки как непрерывно-дифференцируемые функции времени  и ее начальное положение, задаваемое ее координатами в начальный момент : . Тогда в силу формул (8.3) имеем начальную задачу для нормальной системы трех дифференциальных уравнений первого порядка

,                                                                          (8.5)

для определения трех функций времени  (В задаче (8.5) коэффициенты Ламе полагаются заданными).

Допущения о функциях  и  обеспечивают существование и единственность решения этой задачи. Тем самым скоростью и начальным положением уравнения движения точки однозначно определяются как решение задачи (8.5).

4°. Вычисление ускорения точки.

Вектор ускорения точки в криволинейной системе координат представляется разложением

.                                                                                                                          (8.6)

Установим выражения для его физических компонент. Используя известные представления для компонент, ускорения и элементов базиса, будем иметь

.                                                        (8.7)

Покажем, что выражение в квадратных скобках представимо через квадрат скорости. Вектор скорости точки является функцией криволинейных координат и скоростей

.                                                                                                           (8.8)

Рассматривая криволинейные координаты и скорости ,  в качестве независимых переменных, продифференцируем (8.8) по скорости

.                                                                                 (8.9)