, .
Через физические компоненты представим и квадрат модуля вектора
.
Следовательно, модуль вектора и его направление относительно элементов базиса в точке приложения вектора определяются формулами
, . (7.12)
8. Представление движения точки в ортогональной системе.
Установим уравнения движения точки в ортогональной криволинейной системе координат и на их основе укажем способы вычисления ее скорости и ускорения.
1°. Уравнения движения точки.
В декартовых координатах уравнения движения точки имели вид . Поскольку криволинейные координаты являются функциями декартовых, то они также будут изменяться со временем
. (8.1)
Эти функции и называют уравнениями движения точки в криволинейных координатах. Эти равенства дают также параметрические уравнения траектории точки.
Основываясь на допущениях относительно функций и найдем, что сложные функции (8.1) . Производные и называют соответственно криволинейными скоростями и криволинейными ускорениями. Ниже будет показано, что через них можно выразить обычные скорость и ускорение.
2°. Вычисление скорости точки.
При рассмотрении движения точки в криволинейных координатах вектор-радиус зависит от времени через посредство этих координат .Поэтому согласно определению скорости будем иметь выражение
. (8.2)
Вектор скорости может быть представлен также через свои физические компоненты в виде . Из этих двух представлений в силу единственности следует, что физические компоненты скорости определяются в виде
. (8.3)
То есть физические компоненты скорости пропорциональны соответствующим криволинейным скоростям, причем коэффициентами пропорциональности служат коэффициенты Ламе.
Модуль вектора скорости и его направление относительно элементов базиса определяются формулами вида (7.12):
, . (8.4)
3°. Определение движения точки по скорости и начальному положению.
Пусть известны физические компоненты скорости точки как непрерывно-дифференцируемые функции времени и ее начальное положение, задаваемое ее координатами в начальный момент : . Тогда в силу формул (8.3) имеем начальную задачу для нормальной системы трех дифференциальных уравнений первого порядка
, (8.5)
для определения трех функций времени (В задаче (8.5) коэффициенты Ламе полагаются заданными).
Допущения о функциях и обеспечивают существование и единственность решения этой задачи. Тем самым скоростью и начальным положением уравнения движения точки однозначно определяются как решение задачи (8.5).
4°. Вычисление ускорения точки.
Вектор ускорения точки в криволинейной системе координат представляется разложением
. (8.6)
Установим выражения для его физических компонент. Используя известные представления для компонент, ускорения и элементов базиса, будем иметь
. (8.7)
Покажем, что выражение в квадратных скобках представимо через квадрат скорости. Вектор скорости точки является функцией криволинейных координат и скоростей
. (8.8)
Рассматривая криволинейные координаты и скорости , в качестве независимых переменных, продифференцируем (8.8) по скорости
. (8.9)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.