, ,
и с помощью обозначений (23.8) представим в форме
, , . (23.11)
Система естественных уравнений (23.9) и дополнительных уравнений (23.10), (23.11) уже замкнута (семь ее уравнений служат для определения семи функций дуги: ) и определяет естественную модель “точечное тело”.
Эта модель содержит как конечные, так и дифференциальные уравнения. Конечные уравнения, вообще говоря, позволяют выразить кривизну и кручение через другие величины и тем самым сократить число искомых функций.
Действительно, вместо уравнения в (23.9) можно взять эквивалентные ему равенства
, . (23.12)
Первое из них после выполнения дифференцирования и замены в полученном результате производных их значениями из уравнений модели приводит к конечному уравнению
. (23.13)
Полагая, что на рассматриваемом интервале дуги движение происходит без остановок и что кручение фактически входит в (23.13):
, , найдем, что конечные уравнения модели определяют кривизну и кручение
,
. (23.14)
Что касается дифференциальных уравнений, то в силу (23.14) они образуют замкнутую систему пятого порядка
, , ,
, . (23.15)
Так как правые части (23.15) не содержат аргумента – дуги, то порядок этой системы можно понизить на единицу. Путем преобразования уравнений системы с помощью второго из них, получаем систему четвертого порядка
, ,
, . (23.16)
Интегрирование этой системы при начальных условиях
определяет функции , а согласно (23.14) – и . Зависимость дуги от времени определяется квадратурой
. (23.17)
Таким образом, порядок естественной дифференциальной системы (23.16) на две единицы ниже порядка координатной системы, что делает ее привлекательной при решении ряда задач.
4°. Основные задачи динамики точки.
Дифференциальные уравнения движения позволяют решать две основные задачи динамики: прямую и обратную. В прямой задаче по известным кинематическим уравнениям движения точки определяется действующая на нее сила. В обратной задаче по известным компонентам силы и начальному состоянию движения точки определяются ее кинематические уравнения движения.
Прямая и обратная задачи не равнозначны по трудности. Если первая из них решается сравнительно легко, то вторая – весьма трудна, и аналитическое решение ее в общем случае неизвестно; его можно найти при частных видах сил. В общем случае решение находят приближенно при помощи численного счета с использованием ЭВМ.
Рассмотрим эти задачи подробнее.
24. Определение силы по движению.
1°. Определение силы в зависимости от времени.
Рассмотрим подробнее прямую задачу динамики. Будем считать, что для точки массы задано движение в декартовой инерциальной системе координат с помощью уравнений
. (24.1)
Полагаем, что – дважды непрерывно дифференцируемые функции . Покажем, что этих данных достаточно для нахождения силы.
По уравнениям (24.1) находим компоненты скорости и ускорения: . Обращаясь, далее, к дифференциальным уравнениям движения точки в декартовых координатах и используя полученные выражения ускорений, найдем, что компоненты силы определяются как функции времени выражениями
. (24.2)
Найденные компоненты определяют вектор силы в декартовом базисе согласно формуле
. (24.3)
Таким образом, по массе и уравнениям движения действующая сила однозначно определяется в каждый момент времени.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.