,
,
и с помощью обозначений (23.8) представим в форме
,
,
.
(23.11)
Система естественных уравнений (23.9)
и дополнительных уравнений (23.10), (23.11) уже замкнута (семь ее уравнений
служат для определения семи функций дуги: ) и
определяет естественную модель “точечное тело”.
Эта модель содержит как конечные, так и дифференциальные уравнения. Конечные уравнения, вообще говоря, позволяют выразить кривизну и кручение через другие величины и тем самым сократить число искомых функций.
Действительно,
вместо уравнения в (23.9) можно взять
эквивалентные ему равенства
,
.
(23.12)
Первое из них после выполнения дифференцирования и замены в полученном результате производных их значениями из уравнений модели приводит к конечному уравнению
.
(23.13)
Полагая, что на рассматриваемом интервале дуги движение происходит без остановок и что кручение фактически входит в (23.13):
,
, найдем, что конечные уравнения
модели определяют кривизну и кручение
,
.
(23.14)
Что касается дифференциальных уравнений, то в силу (23.14) они образуют замкнутую систему пятого порядка
,
,
,
,
.
(23.15)
Так как правые части (23.15) не содержат аргумента – дуги, то порядок этой системы можно понизить на единицу. Путем преобразования уравнений системы с помощью второго из них, получаем систему четвертого порядка
,
,
,
.
(23.16)
Интегрирование этой системы при начальных условиях
определяет функции , а согласно (23.14) – и
. Зависимость дуги от времени определяется
квадратурой
.
(23.17)
Таким образом, порядок естественной дифференциальной системы (23.16) на две единицы ниже порядка координатной системы, что делает ее привлекательной при решении ряда задач.
4°. Основные задачи динамики точки.
Дифференциальные уравнения движения позволяют решать две основные задачи динамики: прямую и обратную. В прямой задаче по известным кинематическим уравнениям движения точки определяется действующая на нее сила. В обратной задаче по известным компонентам силы и начальному состоянию движения точки определяются ее кинематические уравнения движения.
Прямая и обратная задачи не равнозначны по трудности. Если первая из них решается сравнительно легко, то вторая – весьма трудна, и аналитическое решение ее в общем случае неизвестно; его можно найти при частных видах сил. В общем случае решение находят приближенно при помощи численного счета с использованием ЭВМ.
Рассмотрим эти задачи подробнее.
24. Определение силы по движению.
1°. Определение силы в зависимости от времени.
Рассмотрим
подробнее прямую задачу динамики. Будем считать, что для точки массы
задано
движение в декартовой инерциальной системе координат с помощью уравнений
.
(24.1)
Полагаем, что – дважды непрерывно дифференцируемые
функции
. Покажем, что этих данных достаточно для
нахождения силы.
По уравнениям
(24.1) находим компоненты скорости и ускорения: .
Обращаясь, далее, к дифференциальным уравнениям движения точки в декартовых
координатах
и используя полученные выражения
ускорений, найдем, что компоненты силы определяются как функции времени
выражениями
.
(24.2)
Найденные компоненты определяют вектор силы в декартовом базисе согласно формуле
.
(24.3)
Таким образом, по массе и уравнениям движения действующая сила однозначно определяется в каждый момент времени.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.