Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 39

,   ,  

и с помощью обозначений (23.8) представим в форме

,   ,   .                                                                      (23.11)

Система естественных уравнений (23.9) и дополнительных уравнений (23.10), (23.11) уже замкнута (семь ее уравнений служат для определения семи функций дуги: ) и определяет естественную модель “точечное тело”.

Эта модель содержит как конечные, так и дифференциальные уравнения. Конечные уравнения, вообще говоря, позволяют выразить кривизну и кручение через другие величины и тем самым сократить число искомых функций.

Действительно, вместо уравнения  в (23.9) можно взять эквивалентные ему равенства

,    .                                                (23.12)

Первое из них после выполнения дифференцирования и замены в полученном результате производных их значениями из уравнений модели приводит к конечному уравнению

.                                         (23.13)

Полагая, что на рассматриваемом интервале дуги движение происходит без остановок и что кручение фактически входит в (23.13):

,   , найдем, что конечные уравнения модели определяют кривизну и кручение

,

.                                         (23.14)

Что касается дифференциальных уравнений, то в силу (23.14) они образуют замкнутую систему пятого порядка

,   ,   ,

,   .                                    (23.15)

Так как правые части (23.15) не содержат аргумента – дуги, то порядок этой системы можно понизить на единицу. Путем преобразования уравнений системы с помощью второго из них, получаем систему четвертого порядка

,   ,

,   .                               (23.16)

Интегрирование этой системы при начальных условиях

определяет функции , а согласно (23.14) – и . Зависимость дуги от времени определяется квадратурой

.                                                                                                           (23.17)

Таким образом, порядок естественной дифференциальной системы (23.16) на две единицы ниже порядка координатной системы, что делает ее привлекательной при решении ряда задач.

4°. Основные задачи динамики точки.

Дифференциальные уравнения движения позволяют решать две основные задачи динамики: прямую и обратную. В прямой задаче по известным кинематическим уравнениям движения точки определяется действующая на нее сила. В обратной задаче по известным компонентам силы и начальному состоянию движения точки определяются ее кинематические уравнения движения.

Прямая и обратная задачи не равнозначны по трудности. Если первая из них решается сравнительно легко, то вторая – весьма трудна, и аналитическое решение ее в общем случае неизвестно; его можно найти при частных видах сил. В общем случае решение находят приближенно при помощи численного счета с использованием ЭВМ.

Рассмотрим эти задачи подробнее.

24. Определение силы по движению.

1°. Определение силы в зависимости от времени.

Рассмотрим подробнее прямую задачу динамики. Будем считать, что для точки  массы  задано движение в декартовой инерциальной системе координат с помощью уравнений

    .                                                                                                    (24.1)

Полагаем, что  – дважды непрерывно дифференцируемые функции . Покажем, что этих данных достаточно для нахождения силы.

По уравнениям (24.1) находим компоненты скорости и ускорения: . Обращаясь, далее, к дифференциальным уравнениям движения точки в декартовых координатах  и используя полученные выражения ускорений, найдем, что компоненты силы определяются как функции времени выражениями

    .                                                                                             (24.2)

Найденные компоненты определяют вектор силы в декартовом базисе согласно формуле

.                                                                                                       (24.3)

Таким образом, по массе и уравнениям движения действующая сила однозначно определяется в каждый момент времени.