Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 28

.                                                                                               (18.2)

В первой сумме правой части дифференцируются по времени только компоненты вектора в подвижных осях, базисные же орты этих осей считаются постоянными. Следовательно, эта сумма выражает изменение вектора относительно подвижных осей ; она обозначается через  и называется относительной производной:

.                                                                                                                  (18.3)

Во второй сумме в правой части (18.2) дифференцируются только базисные орты , изменение со временем которых происходит только за счет движения среды  – переносного движения. Если учесть формулы Пуассона  ( – угловая скорость среды), то эту сумму можно записать в виде

.                                                             (18.4)

Эта сумма характеризует изменение вектора за счет переносного движения.

Подстановка (18.3), (18.4) в (18.2) дает связь между абсолютной и относительной производными вектора

, т.е. абсолютное изменение вектора складывается из относительного и переносного изменений.

19. Сложное движение точки.

1°. Уравнения, скорость и ускорение точки в относительном движении.

Пусть тело  является точечным телом . Рассмотрим ее относительное движение, т.е. движение в системе , связанно со средой . При этом отвлекаемся от движения самой среды, полагая ее “неподвижной”. Уравнения относительного движения в координатной и векторной формах имеют вид

    ;        .                                                                (19.1)

Скорость и ускорение точки по отношению к системе координат  обозначают через  и  и называют относительной скоростью и относительным ускорением. Относительная скорость определяется как относительная производная по времени от вектора-радиуса :

,                                                                                                          (19.2)

,         .

А относительное ускорение – как относительная производная по времени от относительной скорости

,

,    .                                                                                      (19.3)

Таким образом, все характеристики относительного движения точки определяются по обычным правилам кинематики точки.

2°. Уравнения, скорость и ускорение точки в переносном движении.

Переносное движение точки – движение среды  в системе отсчета  задается уравнениями движения полюса  среды и уравнениями ее вращения вокруг полюса (эйлеровыми углами):

,   ,    .                                                                           (19.4)

В результате относительного движения точка  последовательно совпадает с различными точкам среды, которые движутся, вообще говоря, по-разному. Поэтому переносной скоростью  и переносным ускорением  точки  называют скорость и ускорение той точки среды, с которой точка  в данный момент совпадает; поскольку среда  рассматривается как твердое тело, то эти величины определяются в виде

,   ,                                                             (19.5)

где  – относительный вектор-радиус точки  (Рис.38).

3°. Уравнения, скорость и ускорение точки в абсолютом движении.

Абсолютное движение точки  определяется ее уравнениями (координатными и векторным) движения относительно неподвижной системы координат :

    ;      .                                                                 (19.6)

Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе координат обозначается через  и  и называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением. Абсолютная скорость равна абсолютной производной по времени от абсолютного вектор-радиуса точки:

,                                                                                                          (19.7)

,         .

Абсолютное ускорение равно абсолютной производной по времени от абсолютной скорости

,

,        .                                                                 (19.8)