Следовательно, производная от вектора скорости по криволинейной скорости равна производной от вектора-радиуса по соответствующей криволинейной координате.
Вычислим далее
производные и
:
,
.
Сравнение этих соотношений приводит к равенству
,
(8.10)
т.е. дифференцирование вектор-радиуса по времени и по криволинейной координате можно менять местами.
С помощью равенств (8.9) и (8.10) физические компоненты ускорения (8.7) можно записать в виде
.
(8.11)
Представим теперь выражение в квадратной скобке через квадрат скорости. Имеем
,
.
Подстановка этих выражений в (8.11) дает для физических компонент ускорения окончательные выражения
,
.
(8.12)
Входящий в (8.12) квадрат скорости через коэффициенты Ламе и криволинейные скорости выражается в виде
.
(8.13)
Подстановка (8.13) в (8.12) дает представление компонентов ускорений через коэффициенты Ламе, криволинейные скорости и ускорения
.
(8.14)
Модуль вектора
ускорения и его ориентация относительно элементов базиса в точке даются известными формулами
,
.
(8.15)
5°. Определение движения и скорости точки по ее ускорению и начальному состоянию.
Пусть заданы физические
компоненты ускорения точки в криволинейных координатах как непрерывные функции
времени и начальное состояние точки:
,
(коэффициенты
Ламе полагаются определенными выбранной системой). Тогда равенства (8.14),
записанные в виде системы, вместе с начальными условиями
,
,
(8.16)
,
,
образуют начальную задачу для
криволинейных координат и скоростей ,
. Допущения о функциях
,
обеспечивают
существование и единственность решения. Таким образом, задание ускорения точки и
ее начального состояния позволяет найти скорость точки и уравнения ее движения.
6°. Движение корабля с постоянным курсовым углом.
Рассмотрим
задачу об определении траектории корабля, идущего под постоянным курсовым углом
к географическому меридиану. Корабль
принимаем за точку
, движущуюся по поверхности
земного шара. Движение корабля рассматриваем в сферических координатах
,
,
(
– радиус,
– долгота,
–
широта) (Рис.10), связанных с декартовыми координатами зависимостями
,
,
.
Обратные зависимости имеют вид
,
,
.
Как видно из последних формул,
координатными поверхностями ,
,
служат
соответственно сфера, полуплоскость и конус, а координатными линиями –
-линия – прямая (радиус),
-линия – окружность (параллель),
-линия – окружность (меридиан).
Выполнение условий
,
,
означает ортогональность сферических координат. Коэффициенты Ламе в сферической системе имеют значения
,
,
.
На поверхности
сферы скорость корабля имеет составляющие ,
, направленные вдоль параллели и меридиана
соответственно. Из треугольника скоростей (Рис.10) находим
.
Подставив в это равенство значения скоростей и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение траектории
,
;
;
.
В последнем равенстве обе его части представимы в виде дифференциалов функций
,
.
Подстановка в
уравнение этих выражений и интегрирование от начального положения корабля до рассматриваемого
дают уравнение траектории корабля
,
, или окончательно
.
Эту кривую, принадлежащую поверхности сферы, называют локсодромией.
9. Естественное представление движения точки.
Движение точки можно определять без использования системы координат путем задания траектории и уравнения движения по траектории.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.