|
(2.8)
называют параметрическими уравнениями годографа вектора, а уравнение (2.7) – векторным уравнением годографа.
3. Уравнения движения и траектория точки в декартовых координатах.
1°. Координатные уравнения движения и траектория.
Рассмотрим движение точки относительно прямоугольной декартовой системы отсчета , связанной с телом отсчета. Положение точки в этой системе определяется ее координатами (Рис.4). При движении положение точки меняется со временем, поэтому функциями времени будут и ее координаты
. (3.1)
|
Принимается, что для достаточно гладких движений функции однозначны и дважды непрерывно-дифференцируемы .
Точке соответствуют проекции на координатные оси. Из рис.3 видно, что . Следовательно, уравнение определяет движение точки вдоль оси . Поэтому согласно (3.1) можно считать, что движение точки в пространстве является результирующим трех составляющих движений вдоль координатных осей.
При движении точка переходит из одного положения в другое. Геометрическое место точек пространства, с которыми последовательно совпадает движущаяся точка, называется траекторией (Рис.4). Например, след, оставляемый реактивным самолетом в пространстве, определяет траекторию самолета. Уравнения движения точки (3.1) являются параметрическими уравнениями ее траектории.
2°. Векторное уравнение движения.
Уравнение движения можно представить в векторной форме. Каждой точке пространства можно сопоставить вектор , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой: . Этот вектор называют вектор-радиусом точки (Рис.4). Вектор-радиус можно рассматривать как векторную сумму векторов (правило параллелепипеда): . Каждый из слагаемых векторов представляется через соответствующие координату и орт: . Поэтому для вектор-радиуса справедливо разложение
, (3.2)
показывающее, что он является функцией координат точки .
Дифференцированием этого равенства по координате можно получить представление через вектор-радиус элементов базиса
.
Так как базисные векторы постоянны, а координаты точки независимы, справедливы соотношения
, , в силу которых предыдущее равенство принимает вид
, (3.3)
т.е. элемент координатного базиса в точке вдоль какой-либо оси равен производной ее вектор-радиуса по соответствующей координате.
При движении точки ее вектор-радиус в силу (3.1) изменяется со временем
. (3.4)
Эту зависимость называют векторным уравнением движения точки.
Легко видеть, что физическое пространство является в то же время пространством годографа вектор-радиуса (Рис.4), а годографом вектор-радиуса служит траектория точки.
4. Вектор скорости точки.
1°. Определение скорости по уравнению движения.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.