, , откуда интегрированием получим
, (26.19)
где – момент прохождения через перицентр.
Для эллиптического движения () подынтегральную функцию можно преобразовать посредством подстановки
, (26.20)
тогда будем иметь
, ,
, ,
.
Вычисляя в (26.19) интеграл по переменной в пределах от до , получим
, или в окончательном виде
, . (26.21)
Это равенство называют уравнением Кеплера. Оно устанавливает зависимость , а согласно (26.20) – зависимость , что совместно с ранее установленными формулами , полностью определяет движение.
Из уравнения Кеплера следует зависимость между периодом обращения планеты вокруг Солнца и большой полуосью эллипса. Действительно, пусть в момент планета находилась в перицентре , для которого и согласно (26.20) . Тогда после полного оборота в момент будем иметь и . Подставив эти значения и в уравнение (26.20), с учетом получим
, .
Для эллипса параметр и эксцентриситет определяются полуосями и в виде , . Следовательно,
,
и формула для квадрата периода принимает вид
, (26.22)
так как Гауссова постоянная Солнца не зависит от параметров планет. Формула (26.22) выражает третий закон Кеплера: “Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит”.
Третий закон Кеплера имеет приближенный характер. Он установлен в предположении неподвижности притягивающего центра. Если учесть движение этого центра, то получим уточненный вид этого закона
, (26.23)
где и – массы планеты и Солнца. Так как для планет (масса наибольшей из планет – Юпитера не превышает одной тысячной массы Солнца), то отличие невелико. Пренебрегая этим отличием, из (26.23) получим третий закон в обычной форме (26.22).
Глава Динамика несвободной точки.
Материальное тело всегда движется в окружении других тел, с которыми оно взаимодействует. В частном случае взаимодействие осуществляется при касании тел друг друга. При этом ограничиваются возможности движения тела – оно становится несвободным (а движение – стесненным). Особенности стесненного движения и рассматриваются в этой главе.
27. Движение точки по поверхности.
Законы движения свободной и несвободной точки, как показывает опыт, вообще различны. В этом параграфе устанавливается вид основного закона при движении точки по поверхности.
1°. Геометрическая связь.
Пусть точка во все время движения остается на поверхности некоторого тела. В этом случае говорят, что точка движется по поверхности. Эта поверхность ограничивает свободу перемещения точки (связывает движение), и поэтому ее называют связью.
Допустим, что движение рассматривается относительно инерциальной системы отсчета . Тогда поверхности тела соответствует некоторое уравнение
или , (27.1)
называемое уравнением связи. Связь (27.1), уравнение которой содержит только координаты точки, называют геометрической; ей соответствует неподвижная поверхность. Примером такой связи может служить сфера радиуса с центром в начале координат:
2°. Ограничения на скорость и ускорение.
При движении точки вдоль поверхности ее координаты, меняющиеся со временем , в каждый момент должны удовлетворять уравнению поверхности
, (27.2)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.