Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 46

,   , откуда интегрированием получим

,                                                                                          (26.19)

где  – момент прохождения через перицентр.

Для эллиптического движения () подынтегральную функцию можно преобразовать посредством подстановки

,                                                                                                   (26.20)

тогда будем иметь

,   ,

,   ,

.

Вычисляя в (26.19) интеграл по переменной  в пределах от  до , получим

, или в окончательном виде

,   .                                                                   (26.21)

Это равенство называют уравнением Кеплера. Оно устанавливает зависимость , а согласно (26.20) – зависимость , что совместно с ранее установленными формулами ,  полностью определяет движение.

Из уравнения Кеплера следует зависимость между периодом  обращения планеты вокруг Солнца  и большой полуосью эллипса. Действительно, пусть в момент  планета находилась в перицентре , для которого  и согласно (26.20) . Тогда после полного оборота в момент  будем иметь  и . Подставив эти значения  и  в уравнение (26.20), с учетом  получим

,   .

Для эллипса параметр и эксцентриситет определяются полуосями  и  в виде , . Следовательно,

,  

и формула для квадрата периода принимает вид

,                                                                                                           (26.22)

так как Гауссова постоянная Солнца  не зависит от параметров планет. Формула (26.22) выражает третий закон Кеплера: “Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит”.

Третий закон Кеплера имеет приближенный характер. Он установлен в предположении неподвижности притягивающего центра. Если учесть движение этого центра, то получим уточненный вид этого закона

,                                                                                             (26.23)

где  и  – массы планеты и Солнца. Так как для планет  (масса наибольшей из планет – Юпитера не превышает одной тысячной массы Солнца), то отличие невелико. Пренебрегая этим отличием, из (26.23) получим третий закон в обычной форме (26.22).

Глава Динамика несвободной точки.

Материальное тело всегда движется в окружении других тел, с которыми оно взаимодействует. В частном случае взаимодействие осуществляется при касании тел друг друга. При этом ограничиваются возможности движения тела – оно становится несвободным (а движение – стесненным). Особенности стесненного движения и рассматриваются в этой главе.

27. Движение точки по поверхности.

Законы движения свободной и несвободной точки, как показывает опыт, вообще различны. В этом параграфе устанавливается вид основного закона при движении точки по поверхности.

1°. Геометрическая связь.

Пусть точка во все время движения остается на поверхности некоторого тела. В этом случае говорят, что точка движется по поверхности. Эта поверхность ограничивает свободу перемещения точки (связывает движение), и поэтому ее называют связью.

Допустим, что движение рассматривается относительно инерциальной системы отсчета . Тогда поверхности тела соответствует некоторое уравнение

   или   ,                                                                                     (27.1)

называемое уравнением связи. Связь (27.1), уравнение которой содержит только координаты точки, называют геометрической; ей соответствует неподвижная поверхность. Примером такой связи может служить сфера радиуса  с центром в начале координат:

2°. Ограничения на скорость и ускорение.

При движении точки  вдоль поверхности ее координаты, меняющиеся со временем , в каждый момент должны удовлетворять уравнению поверхности

,                                                                                                    (27.2)