,
, откуда интегрированием получим
, (26.19)
где –
момент прохождения через перицентр.
Для
эллиптического движения () подынтегральную
функцию можно преобразовать посредством подстановки
,
(26.20)
тогда будем иметь
,
,
,
,
.
Вычисляя в (26.19) интеграл по
переменной в пределах от
до
, получим
, или в окончательном виде
,
.
(26.21)
Это равенство называют уравнением
Кеплера. Оно устанавливает зависимость , а
согласно (26.20) – зависимость
, что совместно с ранее
установленными формулами
,
полностью определяет движение.
Из уравнения
Кеплера следует зависимость между периодом обращения
планеты вокруг Солнца
и большой полуосью эллипса.
Действительно, пусть в момент
планета находилась в
перицентре
, для которого
и
согласно (26.20)
. Тогда после полного оборота в
момент
будем иметь
и
. Подставив эти значения
и
в
уравнение (26.20), с учетом
получим
,
.
Для эллипса параметр и
эксцентриситет определяются полуосями и
в виде
,
. Следовательно,
,
и формула для квадрата периода принимает вид
,
(26.22)
так как Гауссова постоянная
Солнца не зависит от параметров планет. Формула
(26.22) выражает третий закон Кеплера: “Квадраты звездных времен обращения
планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит”.
Третий закон Кеплера имеет приближенный характер. Он установлен в предположении неподвижности притягивающего центра. Если учесть движение этого центра, то получим уточненный вид этого закона
,
(26.23)
где и
– массы планеты и Солнца. Так как для
планет
(масса наибольшей из планет – Юпитера не
превышает одной тысячной массы Солнца), то отличие невелико. Пренебрегая этим
отличием, из (26.23) получим третий закон в обычной форме (26.22).
Глава Динамика несвободной точки.
Материальное тело всегда движется в окружении других тел, с которыми оно взаимодействует. В частном случае взаимодействие осуществляется при касании тел друг друга. При этом ограничиваются возможности движения тела – оно становится несвободным (а движение – стесненным). Особенности стесненного движения и рассматриваются в этой главе.
27. Движение точки по поверхности.
Законы движения свободной и несвободной точки, как показывает опыт, вообще различны. В этом параграфе устанавливается вид основного закона при движении точки по поверхности.
1°. Геометрическая связь.
Пусть точка во все время движения остается на поверхности некоторого тела. В этом случае говорят, что точка движется по поверхности. Эта поверхность ограничивает свободу перемещения точки (связывает движение), и поэтому ее называют связью.
Допустим, что
движение рассматривается относительно инерциальной системы отсчета . Тогда поверхности тела соответствует
некоторое уравнение
или
,
(27.1)
называемое уравнением связи. Связь
(27.1), уравнение которой содержит только координаты точки, называют
геометрической; ей соответствует неподвижная поверхность. Примером такой связи
может служить сфера радиуса с центром в начале
координат:
2°. Ограничения на скорость и ускорение.
При движении
точки вдоль поверхности ее координаты,
меняющиеся со временем
, в каждый момент должны
удовлетворять уравнению поверхности
,
(27.2)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.