Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 21

2°. Свойства поступательного движения тела.

Поступательное движение тела обладает рядом свойств, выражаемых теоремой: “Если твердое тело движется поступательно, то все его точки описывают конгруэнтные траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения”.

Доказательство. В поступательном движении эйлеровы углы равны нулю: . Из выражения матрицы поворотов тогда следует, что она обращается в единичную матрицу:  ( - символ Кронекера). Общие уравнения движения типичной точки  тела

при этом упрощаются и принимают вид

    .                                                                (14.2)

Так как сопутствующие координаты  точки  не меняются со временем, то из (14.2) следует, что траектория точки  получается сдвигом траектории полюса  на постоянный вектор  (Рис.27), т.е. траектории этих точек конгруэнтны.

Подставив значения углов Эйлера  в кинематические формулы , , найдем , . Следовательно, в поступательном движении равны нулю угловая скорость и угловое ускорение тела

,    .                                                                                   (14.3)

Общие формулы для скорости и ускорения типичной точки  тела

,   

показывают, что в рассматриваемом движении эти величины совпадают со скоростью и ускорением полюса

,    .                                                                                                                (14.4)

Но за полюс может быть взята любая точка тела, поэтому для любых двух точек тела траектории будут конгруэнтны, а скорость и ускорение – одинаковыми. Теорема доказана.

Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением одной его точки. Отметим, что в поступательном движении траектории точек тела могут быть самыми разнообразными конгруэнтными кривыми; вид этих кривых определяется движением полюса.

Равные у всех точек скорости и ускорения называют соответственно скоростью и ускорением тела. Если скорость полюса постоянна по величине и направлению, то все точки тела движутся прямолинейно и равномерно. В этом случае ускорение любой точки тела равно нулю и движение тела называют равномерным поступательным движением.

15. Сферическое движение твердого тела.

Движение твердого тела называют сферическим, если расстояние любой его точки до некоторого неподвижного центра остается неизменным во все время движения.

Сферическое движение совершает, например, волчок, гироскоп в кордановом подвесе и вообще любое тело, закрепленное в одной точке с помощью сферического шарнира.

1°. Уравнения сферического движения тела.

Неподвижный центр , расстояния до которого точек тела сохраняются, можем считать точкой тела. Примем эту точку за начало неподвижной системы отсчета  и одновременно за полюс в теле: . Тогда координаты полюса в системе отсчета будут равны нулю в любой момент времени: , а эйлеровы углы сохранят общий вид  (Рис.28). Следовательно, уравнения сферического движения тела имеют вид

,                                   (15.1)

Отсюда видно, что при сферическом движении тело совершает вращательное движение вокруг оси произвольного направления, проходящей через неподвижный полюс.

2°. Уравнения движения и траектории точек при сферическом двидении.

Уравнения движения типичной точки

при сферическом движении (15.1) принимает вид

    ,                                                                                    (15.2)

где  – матрица поворотов, определяемая через эйлеровы углы известными формулами. Установим вид траектории точки. Для этого исключим из (15.2) время. С этой целью составим выражение для суммы квадратов координат точки

По свойству матрицы поворотов справедливо равенство

, в силу которого предыдущее соотношение принимает вид уравнения сферы радиуса  с центром в начале отсчета

.                                                                            (15.3)