Механика \ Механика

Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 54

Согласно теореме кинетический момент точки вокруг центра или оси изменяется только в том случае, когда действует соответствующий силовой момент.

В частности, когда, например, , то из третьего в (30.12) равенства следует интеграл площадей:

, , .

То есть, при отсутствии силового момента вокруг третьей оси кинетический момент точки вокруг этой оси сохраняет постоянное значение.

Теорему (30.10) можно представить в интегральной форме. Разделяя в этом равенстве дифференциалы и интегрируя в соответствующих пределах, получим

, , (или , ), (30.13)

т.е. приращение кинетического момента точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силового момента за тот же промежуток. При этом кинетический и силовой моменты должны определяться относительно одного и того же неподвижного центра.

5°. Изменение кинетической энергии.

При движении точки ее кинетическая энергия изменяется со временем: . Темп этого изменения выражает теорема о кинетической энергии:

“В каждый момент времени скорость изменения кинетической энергии равна мощности действующей силы”

. (30.14)

Доказательство. Возьмем основной закон динамики в векторной форме и умножим скалярно обе его части на вектор скорости:

. (30.15)

Тогда

Подстановка этих выражений в (30.15) приводит к равенству , совпадающему с (30.14). Теорема доказана.

Согласно теореме (30.14) кинетическая энергия точки изменяется только в том случае, когда отлична от нуля мощность действующей силы.

Подобно теоремам о количестве движения и о кинетическом моменте теорема о кинетической энергии позволяет получить интеграл дифференциальных уравнений движения (интеграл энергии) при определенном условии на действующую силу.

Сила называется потенциальной, если взятому со знаком “минус” градиенту некоторой скалярной функции (называемой потенциальной энергией):

, . (30.16)

Условие потенциальности силы выражает теорема:

“Для потенциальности силы , являющейся непрерывно дифференцируемой функцией координат, необходимо и достаточно выполнение условий

”. (30.17)

Действительно, пусть сила потенциальна, тогда

. (30.18)

Дифференцированием этого равенства по координате , устанавливаем условия (30.17):

;

Необходимость, таким образом, обоснована.

Для доказательства достаточности условий (30.17) покажем, что при их выполнимости можно найти такую функцию , для которой выполняются равенства (30.18).

Для этого проинтегрируем первое равенство по от до , считая , фиксированными параметрами:

. (30.19)

Найденная функция при всякой удовлетворяет первому условию в (30.18). Функцию можно выбрать так, чтобы удовлетворялись и два других. Действительно, дифференцируя (30.19) по параметру и пользуясь заданным условием , получим