Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 20

.                                                                                     (13.4)

Выразим угловую скорость через ее модуль  и орт : . Тогда , где  – проекция  на направление , и первое слагаемое в правой части (13.4) равно

,    .

Так как , то последний член в (13.4) равен . Следовательно, равенство (13.4) принимает вид

.                                                                        (13.5)

Разложим теперь вектор  на составляющую  вдоль угловой скорости и составляющую, ортогональную к ней , тогда  и формула (13.5) принимает вид

.                                                                                                          (13.6)

Это ускорение представляет собою нормальное ускорение точки  при ее вращении вокруг вектора угловой скорости, проведенного из полюса. Оно направлено от точки  к мгновенной оси вращения (Рис.26b), поэтому его называют осестремительным ускорением.

Внося (13.3) и (13.6) в (13.2), получаем равенство

, выражающее следующую теорему Ривальса:

“В произвольном движении твердого тела ускорение любой его точки равно векторной сумме полюсного, вращательного и осестремительного ускорений” (Рис.26с).

2°. Вычисление ускорения точки тела.

Для вычисления вектора ускорения получим выражения его компонент. Ускорение (13.2) с учетом (13.4) запишем в виде

.                                                                                          (13.8)

В подвижном базисе  входящие в (13.8) векторы представляются в виде

,    ,    ,    ,

, поэтому согласно (13.8) компоненты ускорения в подвижных осях равны

    (индекс ).                               (13.9)

Здесь  – задаваемые величины (определяющие точку  тела),  – компоненты угловой скорости, определяемые формулами Эйлера,  – компоненты углового ускорения, а  – компоненты ускорения полюса. Все эти величины определяются по уравнениям движения тела .

Компоненты (13.9) определяют модуль ускорения и его ориентацию относительно подвижных осей  в виде

,    .                                                                             (13.10)

Ускорение точки можно вычислить и по его компонентам в неподвижном базисе. Представляя векторы из (13.8) в базисе , получим

,    ,    , ,    ,

, тогда компоненты ускорения (13.8) в неподвижных осях будут равны

    (индекс ).                              (13.11)

Здесь  – компоненты ускорения полюса,  – компоненты угловой скорости, определяемые по формулам Эйлера,  – компоненты углового ускорения, а  – компоненты вектора . Все эти величины определяются по уравнениям движения тела .

По компонентам (13.11) модуль ускорения и его ориентация относительно неподвижных осей  определяются формулами

,    .                                                                             (13.12)

Рассмотрим частные случаи движения тела.

14. Поступательное движение тела.

Движение твердого тела называют поступательным, если любая прямая, связанная с телом, остается параллельной самой себе во все время движения.

Поступательное движение совершают, например, кузов вагона на прямолинейном участке пути, ступенька эскалатора метрополитена и т.п. Это одно из простейших и весьма распространенных движений тела.

1°. Уравнения поступательного движения.

При поступательном движении тела оси сопутствующей системы координат  как прямые, связанные с телом остаются параллельными самим себе. Следовательно, углы Эйлера при этом движении остаются постоянными:  . Без ограничения общности можно принять, что в начальный момент времени эти оси были параллельны соответствующим неподвижным осям. Тогда в начальный момент эйлеровы углы равнялись нулю. Следовательно, они будут нулевыми и в любой другой момент:  . Уравнения же движения полюса  сохраняют общий вид  . Таким образом, уравнения поступательного движения тела имеют вид

,        .                                                                                    (14.1)

Итак, в поступательном движении тело движется вместе с полюсом и не вращается вокруг полюса.