Наряду с точкой рассмотрим точку , являющуюся ее проекцией на плоскость . Векторы-радиусы этих точек имеют разложения
,
и связаны между собою соотношением (Рис.30)
, , (16.6)
Легко видеть, что первые два уравнения движения точки будут тe же, что и у точки в (16.5), а третье уравнение имеет вид . Это значит, что совершает движение в плоскости такое же, как и точка в плоскости . Отсюда следует, что все точки тела, принадлежащие перпендикуляру к плоскости , движутся одинаково и таким образом, как движется точка . Следовательно, движение всего тела будет установлено, если будет известно движение в плоскости плоской фигуры , являющейся проекцией тела на плоскость (Рис.30). В этом аспекте уравнения движения тела (первая группа трех уравнения в (16.3)) являются уравнениями движения плоской фигуры : первые два уравнения , суть уравнения движения полюса в плоскости , а третье уравнение есть уравнение вращения фигуры вокруг полюса в этой плоскости.
3°. Скорости точек тела в плоском движении.
В плоском движении тела углы прецессии и нутации равны нулю: , поэтому и угловая скорость тела принимает значение
, (16.7)
Таким образом, при плоском движении тела вектор угловой скорости направлен ортогонально плоскости движения плоской фигуры .
Рассмотрим скорость точки тела. Общее выражение скорости с учетом выражений (16.6) и (16.7) для векторов и принимает вид
, . (16.8)
Т.е. скорость точки тела совпадает со скоростью точки плоской фигуры . Последняя же складывается из скорости полюса , общей для всех точек фигуры, и вращательной скорости , происходящей вследствие вращения фигуры вокруг полюса (Рис.32).
Для вычисления скорости установим выражения ее компонент в подвижных и неподвижных осях. Согласно (16.8) компоненты скорости в подвижных осях равны
, , . (16.9)
Согласно формулам Эйлера (16.6) и (16.7) компоненты угловой скорости имеют значения
, ,
; , а компоненты скорости полюса с учетом (16.3) и (16.4) определяются формулами :
, , .
Таким образом, компоненты (16.8), модуль и направление скорости относительно подвижных осей равны
, , ; (16.10)
, , , .
Аналогично, согласно (16.8) компоненты скорости в неподвижных осях равны
, , . (16.11)
Здесь согласно формулам Эйлера и уравнениям (16.3)
,
,
,
, , , а компоненты вектора в неподвижных осях в силу представления равны :
,,.
Таким образом, компоненты (16.11), модуль и направление скорости относительно неподвижных осей выражаются формулами
, , ; (16.12)
, , , .
Формулы (16.10) (или (16.12)) показывают, что скорость точки тела лежит в плоскости ее движения.
4°. Ускорения точек тела в плоском движении.
Для определения ускорения точки тела в плоском движении установим вначале выражение вектора углового ускорения тела в этом случае. Согласно определению вектора и (16.7) имеем
. (16.13)
Следовательно, в плоском движении тела векторы угловой скорости и углового ускорения параллельны друг другу и ортогональны плоскости движения.
Рассмотрим ускорение точки тела. Общее выражение для ускорения точки согласно теореме Ривальса представимо в виде
. (16.14)
Ввиду коллинеарности векторов угловой скорости и углового ускорения имеем
. (16.15)
Из (16.14) следует, что ускорения точек и (Рис.30) совпадают друг с другом. В (16.14) вектор есть ускорение полюса фигуры , а векторы , суть касательное и нормальное ускорения точки при вращении фигуры вокруг полюса.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.