Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 53

Наряду с векторными, рассматривают скалярную меру движения точки – кинетическую энергию (меру Лейбница):

, (30.2)

которая служит мерой движения при переходе энергии движения в энергию положения (потенциальную энергию).

2°. Меры силового воздействия.

Наряду с силой , определяющей в данный момент времени меру воздействия на точку со стороны других тел, рассматривают силовой момент , определяющий меру вращательного действия силы вокруг центра :

, (30.3)

а также силовой и моментный импульсы и , выражающие эффекты действия этих силовых величин за время :

, . (30.4)

Кроме того, рассматривают и скалярные силовые меры: мощность и работу , определяющие локальное и интегральное действия силы (в некоторой точке траектории и на участке траектории):

, . (30.5)

Установим темп изменения мер движения, обусловленный силовым воздействием.

3°. Изменение количества движения.

Количество движения точки изменяется со временем: . Темп этого изменения определяет теорема о количестве движения:

“В каждый момент времени скорость изменения количества движения равна действующей на нее силе”

. (30.6)

Теорема следует из основного закона динамики после внесения массы (постоянной величины) под знак производной и использования выражения количества движения . Векторное равенство (30.6) эквивалентно трем скалярным равенствам

, , (30.7)

которые представляют теорему в компонентной форме. Согласно теореме количество движения точки изменяется только в том случае, если есть соответствующее силовое воздействие.

В частности, если например, , то из третьего в (30.7) равенства получаем интеграл количества движения:

, , . (30.8)

То есть, если отсутствует сила вдоль третьей оси, то количество движения точки вдоль этой оси сохраняется неизменным.

Векторное равенство (30.6) после разделения дифференциалов и интегрирования в соответствующих пределах приводит к интегральной форме теоремы:

, , (или , ), (30.9)

т.е. приращение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу действующей силы за тот же промежуток.

4°. Изменение кинетического момента.

В общем случае кинетический момент точки изменяется со временем: . Темп этого изменения выражается теоремой о кинетическом моменте:

“В каждый момент времени скорость изменения кинетического момента точки относительно некоторого неподвижного центра равна моменту действующей силы относительно того же центра”

. (30.10)