Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 38

т.е. векторное равенство (23.1) эквивалентно трем скалярным равенствам (23.2).

В кинематике установлено, что компоненты скорости и ускорения определяются через декартовы координаты точки формулами

, , .

Подставляя эти выражения в (23.2) и обозначая

, получим дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах

, (23.3)

Эти уравнения образуют замкнутую систему трех уравнений второго порядка для трех функций времени .

Замкнутую систему уравнений, описывающую некоторое явление, называют математической моделью явления. С этой точки зрения система уравнений (23.3) определяет в декартовых координатах математическую модель “материальная точка”.

2°. Дифференциальные уравнения в цилиндрических координатах.

Пусть с телом отсчета связана ортогональная цилиндрическая система координат с ортонормированным базисом . Разложим векторы , входящие в закон (23.1), в этом базисе

, ,

, .

Из закона получим три соотношения, выражающие равенство соответствующих физических компонентов равных векторов и :

, (23.4)

С учетом кинематических формул и представления вектор-радиуса имеем равенства

позволяющие записать соотношения (23.4) в виде дифференциальных уравнений движения точки в цилиндрических координатах

, (23.5)

Эти уравнения образуют замкнутую систему трех дифференциальных уравнений второго порядка для трех функций времени: .

3°. Естественные дифференциальные уравнения движения точки.

Наряду с координатными дифференциальными уравнениями движения точки, можно получить ее естественные дифференциальные уравнения, связанные с естественным способом представления движения. В естественном способе движение точки определяется зависимостями от дуги кривизны , кручения и времени :

. (23.6)

Из них первые две функции определяют естественные уравнения траектории, а последняя – уравнение движения по траектории. Из основного закона динамики можно получить уравнения для нахождения этих функций тем же путем, что и координатные уравнения.

Рассмотрим естественный базис траектории (орты касательной, главной нормали и бинормали) и представим в нем векторы , входящие в закон :

, , ,

(Здесь и далее естественные компоненты векторов отмечены штрихами).

Согласно закону должны равняться друг другу соответствующие естественные компоненты равных векторов:

. (23.7)

Используем для естественных компонент скорости и ускорения известные формулы и переобозначим компоненты вектор-радиуса и силы

, (23.8)

тогда динамические уравнения (23.7) можно записать в виде следующих естественных уравнений

, (23.9)

Естественные уравнения составляют систему трех уравнений (одного дифференциального и двух конечных) и содержат шесть неизвестных функций дуги : , тем самым они замкнутую систему не образуют; кроме того, они не содержат кручения – составной части кинематических уравнений (23.6).