. (11.18)
Векторы
, , (11.19)
называют соответственно угловыми ускорениями прецессии, нутации и собственного вращения. Получим выражения для двух последних членов в (11.18). На основании представления и Формул Пуассона (11.16) получаем:
, , поэтому
, (11.20)
Подстановка (11.19), (11.20) в (11.18) приводит к представлению углового ускорения через скорости и ускорения прецессии, нутации и собственного вращения
. (11.21)
Для вычисления углового ускорения тела получим выражения для его компонент в подвижных и неподвижных осях. Дифференцируя по времени представление угловой скорости в подвижных осях и используя формулы Пуассона, получим
, так как
.
С другой стороны, в подвижном базисе . Из этих двух представлений в подвижном базисе следует, что должно быть
, (11.22)
т.е. компоненты углового ускорения в сопутствующих осях равны производным по времени от соответствующих компонент угловой скорости в тех же осях. Так как согласно формулам Эйлера выражаются через , то согласно (11.22) компоненты будут функциями . То есть уравнения вращения тела вокруг полюса определяют как угловую скорость, так и угловое ускорение тела.
По компонентам (11.22) модуль и направление углового ускорения определяются формулами
, . (11.23)
Для вычисления углового ускорения тела в системе отсчета, возьмем представление в неподвижном базисе . После дифференцирования по времени этого равенства получим
.
Отсюда и из представления углового ускорения в неподвижном базисе следуют выражения для его компонент
. (11.24)
Т.е. подобно (11.22) компоненты углового ускорения в неподвижном базисе равна производным по времени от соответствующих компонент угловой скорости.
Формулы (11.24) определяют угловое ускорение тела в неподвижных осях в виде
, . (11.25)
12. Скорость точки тела.
1°. Представление скорости типичной точки тела.
Движение тела в системе отсчета определяется уравнениями , . Покажем, что эти уравнения дают возможность вычислить скорость любой точки тела. Как следует из Рис.23 для типичной точки тела вектор-радиус складывается из вектор-радиуса полюса и вектор-радиуса относительно полюса :
.
Дифференцируя по времени это равенство, найдем
.
Согласно определению скорости первые два члена равенства равняются скоростям точек и :
, .
Что касается последнего члена, то с помощью формул Пуассона он может быть представлен в виде
.
Подставляя значения производных в исходную формулу, получим
. (12.1)
В равенстве (12.1) вектор является скоростью полюса, а вектор - является скоростью точки относи при ее вращении вокруг мгновенной оси , проходящей через полюс (ее называют скоростью вращения вокруг полюса).
Таким образом (12.1) выражает следующую теорему:
«Если тело совершает произвольное движение, то скорость его типичной точки равна векторной сумме скорости полюса и скорости вращения вокруг полюса.» (Рис.23)
2°. Свойства скоростей точек тела.
Пусть – две произвольные точки тела и – скорости точек в рассматриваемый момент (Рис.24). Беря точку за полюс, для скорости точки согласно (12.1) получим представление
. (12.2)
Умножим скалярно обе части этого равенства на орт вектора :
, тогда получим
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.