Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 6

Рис.7

При движении точки в системе отсчета  ее скорость вообще изменяется как по величине, так и по направлению . Введем величину, характеризующую темп этого изменения. Рассмотрим два соседних момента времени  и . Пусть точка занимает в эти моменты положения  и  и имеет в них скорости  и  (Рис.7). За время  скорость получает приращение . Вектор , характеризующий изменение скорости за время , называют средним ускорением точки за это время. Этот вектор направлен из точки  в сторону вогнутости траектории. Среднее ускорение приближенно характеризует темп изменения скорости. Однако, это приближение тем точнее, чем меньше время . Поэтому за ускорение  точки в момент  принимают предел, к которому стремится среднее ускорение при , т.е. производную

.                                                                                                                 (5.1)

Таким образом, ускорение является вектором, равным производной по времени от вектора скорости. Ускорение точки направлено в сторону вогнутости траектории (Рис.7).

Для вычисления ускорения представим скорость в координатном базисе . дифференцируя по времени это равенство, согласно (5.1) будем иметь

.                                                                                                                       (5.2)

С другой стороны, ускорение через свои компоненты представимо разложением . В силу единственности разложения вектора должны совпадать коэффициенты при элементах базиса

,             ,                                                                                             (5.3)

т.е. компоненты ускорения равны производным по времени от соответствующих компонент скорости.

Каждое из слагаемых в (5.2) можно рассматривать как ускорение  точки  – проекции  на ось  вдоль этой оси. Тем самым ускорение пространственного движения точки равно результирующей ускорений в трех составляющих движениях вдоль координатных осей.

По известным компонентам (5.3) модуль и направление вектора ускорения определяются известными формулами

,         ,         .                                                          (5.4)

2°. Определение скорости точки по ускорению.

По ускорению и начальной скорости можно определить скорость точки. Пусть заданны в любой момент времени ускорение  и начальная скорость точки. Тогда, интегрируя зависимости , представленные в форме , будем иметь

,             .                                                           (5.5)

Формулы (5.5) определяют скорость точки в любой момент.

6. Условия попадания снаряда в самолет.

1°. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу об условиях попадания зенитного снаряда в самолет, рассматриваемых как точечные тела.

Пусть самолет  летит равномерно и прямолинейно  со скоростью  на высоте  над землей и в момент  пролетает над орудием . С какой начальной скоростью  и под каким углом  к горизонту должен вылететь снаряд , движущийся с ускорением свободного падения , чтобы попасть в самолет?

Возьмем орудие за начало системы отсчета  с осью , направленной вдоль движения самолета, и осью , идущей вертикально вверх через начальное положение  самолета (Рис.8).

Рис.8

2°. Уравнения движения самолета и снаряда.

Составим уравнения движения самолета и снаряда в системе . По известной скорости и начальному положению самолета :

;        , в результате интегрирования равенств :

,     ,     , с учетом начального положения  получаем уравнения движения самолета

,    ,    ;

,    ,    .                                                                                                 (6.1)

Т.е. самолет летит в вертикальной плоскости . Траекторией самолета служит горизонтальная прямая : ,  (Рис.8).

Примем, что начальная скорость  снаряда принадлежит вертикальной плоскости  и составляет угол  с горизонтальной осью . Тогда по известному ускорению и начальной скорости снаряда :