Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 37

Второй закон называют основным законом механики; он устанавливает количественную связь между динамическими величинами, характеризующими влияние обуславливающих движение факторов, т.е. между действующей силой (внешний фактор) и массой точки (внутренний фактор) – с одной стороны и кинематической величиной – ускорением точки – с другой.

Из выражения (22.2) основного закона динамики следует, что чем больше у тела величина , тем меньшее ускорения оно получает под действием одной и той же силы, т.е. медленнее меняется скорость тела (больше инерция). Таким образом, в законе (22.2) величина  служит мерой инерции тела и поэтому называется инерционной массой.

Итак, отправляясь от различных свойств движения, установлены понятия гравитационной и инерционной масс. Опытами Ньютона (а позже Бесселя и Этвеша) было установлено, что инерционная масса тела равна его гравитационной массе. Это весьма важное положение называют принципом эквивалентности.

Первые два закона Ньютона относятся к одному материальному телу. Характер же взаимодействия между двумя телами устанавливается третьим законом.

Третий закон (закон взаимодействия тел). “Действию всегда есть равное и противоположное противодействие; иными словами взаимодействия двух тел друг с другом равны между собой по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны”.

Третий закон называют также законом действия и противодействия. Закон утверждает, что в природе силы всегда встречаются попарно. Рассмотрим два взаимодействующих тела  и . Обозначим через  силу, действующую на тело  со стороны тела , и через  – силу, действующую на тело  со стороны тела . Тогда на основании третьего закона

.                                                                                                                           (22.3)

Это равенство означает, что модули сил равны друг другу:  и что сами силы направлены вдоль прямой , соединяющей тела (материальные точки), в противоположные стороны.

Так как равные (по модулю) силы  и  приложены к разным телам, то сообщаемые ими ускорения вообще различны (так как взаимодействующие тела имеют вообще разные массы).

Первые два закона содержали в своих формулировках кинематические элементы, поэтому они были связаны с инерциальной системой координат. Третий же закон не содержит кинематических элементов, поэтому он справедлив в любой координатной системе.

Другая особенность третьего закона состоит в том, что он относится не к одному, а к двум телам. Этим открывается возможность анализа силового взаимодействия между телами и тем самым построения динамики механических систем.

23. Дифференциальные уравнения движения точки.

Основной закон динамики, устанавливающий зависимость между кинематическими и динамическими величинами движения точки, позволяет установить дифференциальные уравнения движения точки, которые дают возможность решать различные задачи динамики. Эти уравнения можно получать в различных формах.

Согласно основному закону динамики произведение массы точки на ее ускорение в некоторой инерциальной системе координат равно действующей силе (являющейся в общем случае функцией времени, вектор-радиуса и скорости)

.                                                                                                                  (23.1)

Как всякое векторное равенство закон (23.1) в конкретной системе координат эквивалентен трем скалярным равенствам, связывающим между собой характеристики движения. Установим вид этих уравнений в декартовой, цилиндрической и естественной системах.

1°. Дифференциальные уравнения в декартовых координатах.

Свяжем с телом отсчета прямоугольную декартову систему координат  с базисом  и представим входящие в закон (23.1) векторы в виде разложений в этом базисе

,   ,   ,   .

Согласно закону  равные векторы и  имеют в этом базисе равные соответствующие компоненты:

     ,                                                                                  (23.2)