Таким образом, согласно (27.7)-(27.10) полная реакция связи определяется выражением
. (27.11)
При поверхность называют шероховатой, а при – гладкой. Реакция шероховатой поверхности имеет нормальную и тангенциальную составляющие; реакция же гладкой поверхности – только нормальную составляющую.
Реакция связи (контактная сила) по своей природе несколько отличаются от других сил (сил дальнодействия), которые называют активными силами. Отличие состоит в том, что реакция не вполне определяется связью; она зависит также от других сил и от движения точки. При отсутствии активных сил и движения реакция вообще не появляется: при и будем иметь:
, , , .
Кроме того, активные силы, действуя на покоящуюся точку, могут сообщить ей движение (отсюда и название "активные"), реакции же этим свойством не обладают, поэтому их называют еще пассивными силами. Реакция связи наперед неизвестна и подлежит определению.
Итак, при движении по поверхности основной закон механики имеет вид
, (27.12)
где
, .
4°. Уравнения движения и начальная задача.
Пусть точка массы движется по поверхности относительно декартовой системы координат . В проекциях на оси этой системы векторный основной закон (27.12) эквивалентен системе трех скалярных уравнений движения по поверхности (называемых уравнениями Лагранжа со множителем связи); присоединив к ним уравнение связи, получим систему четырех уравнений
,
(, ). (27.13)
для определения четырех функций времени . Эти функции входят в уравнения неравноправно: относительно система дифференциальная, а относительно – алгебраическая, т.е. (27.13) является системой уравнений смешанного типа. Присоединив к ней начальные условия (для функций ):
, , , (27.14)
получим начальную задачу. Условия (27.14) полагаются согласованными с уравнением связи и ограничением на скорость:
, .
Начальную задачу для смешанной системы решают путем сведения ее к начальной задаче для дифференциальной системы. Для этого из уравнения связи множитель связи находят в виде функции времени, координат и скоростей (27.9):
, (27.15)
в результате чего первые три уравнения в (27.13) составят систему одних дифференциальных уравнений для неизвестных . Записав ее в виде уравнений для шести функций :
, , (27.16)
и используя условия (27.14), получим начальную задачу для нормальной системы.
Пусть заданы масса , коэффициент трения , компоненты силы как непрерывно дифференцируемые функции переменных и уравнение связи как трижды непрерывно дифференцируемая функция координат. Тогда множитель связи будет непрерывно дифференцируемой функции , а вместе с ним из этого же класса будут и правые части уравнений. Следовательно, задача (27.16), (27.14) имеет единственное решение .
По известному движению согласно (27.15) определяется , а, следовательно, и реакция (27.11). Таким образом, основной задачей динамики несвободной точки является определение не только движения, но и реакции связи.
5°. Движение тяжелой точки по гладкой наклонной плоскости.
Проиллюстрируем стесненное движение точки следующим примером.
Пусть тяжелая точка массы движется по гладкой наклонной плоскости, составляющей с плоскостью горизонта угол , из заданного начального состояния. Определим движение точки и реакцию плоскости в декартовой системе координат , оси которой принадлежат плоскости (ось – горизонтальна), а ось – ортогональна к ней (Рис.64).
В этих координатах уравнение гладкой плоскости и ее градиент имеют вид
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.