Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 59

Это равенство и называют уравнением движения точки у поверхности Земли. Вектор  называют силой тяжести (или весом тела), а  – ускорением силы тяжести у земной поверхности (или ускорением свободного падения). Как видно из определения (32.6) вес имеет двоякую физическую природу: основная часть веса – это сила  притяжения точки Землей, малая же добавка  – центробежная сила инерции - составная часть переносной силы инерции. Таким образом, сила инерции участвует в создании веса.

2°. Относительный покой вблизи Земли.

Рассмотрим равновесие точки, подвешенной на нити вблизи поверхности Земли (Рис.75). В этом случае , ,  и равенство (32.7) принимает вид уравнения равновесия

,                                                               (32.8)

где  – реакция нити. Следовательно,  есть та сила, которая уравновешивает реакцию нити. Эту силу пружинный динамометр регистрирует как силу тяжести. Таким образом, наименование силы  тяжестью вполне оправдано.

Направление веса дает направление вертикали в данной точке земной поверхности. Вертикаль вообще не совпадает с направлением земного радиуса, отклоняясь от него на некоторый угол  (Рис.75). Угол , образованный радиусом с плоскостью экватора, называют геоцентрической широтой, а угол , составленный с плоскостью экватора вертикалью – географической широтой. Эти широты связаны с углом  зависимостью .

Оценим величину угла . Из теоремы синусов, примененной к силовому треугольнику  (Рис.75), получаем

,   ,   , где  – ускорение свободного падения на полюсе, а  – радиус вращения точки  вокруг земной оси. Отсюда, положив ,  (– радиус Земли), находим

,      .

Деление этого равенства на  приводит к уравнению для , определяющему его в виде

.                                                                                                    (32.9)

В линейном по параметру  приближении будем иметь

.

Принимая для параметров значения

кмм,   м/с²,   р/ср/с, найдем, что , а следовательно, и  малы (сравнительно с 1) и :

,   ,   .                                        (32.10)

отсюда находим, что

, при , ;

, при , ; .

Аналогичная ситуация имеет место и в южном полушарии.

Таким образом, отклонение вертикали от радиуса Земли достигает наибольшего значения в средних широтах и отсутствует на экваторе и на полюсах. Это отклонение невелико и им часто пренебрегают.

3°. Зависимость веса от широты места.

Вычислим величину силы тяжести. Для этого спроектируем на направление вертикали равенство, определяющее эту силу

,   ,   , тогда, учитывая Рис.75, получим

.

Ввиду малости угла  можно положить , так что вес будет равен

,   .

Гравитационная сила , оказывается, больше силы тяжести  во всех точках Земли, за исключением полюсов, где эти силы равны. Следовательно,

,   , и закону изменения веса тела в зависимости от широты можно придать вид

.

Отсюда следует, что вес имеет наименьшее значение на экваторе и наибольшее значение – на полюсах:

, при ,

, при .

Отсюда ясно, что наибольшее относительное изменение веса равно

, т.е. составляет всего . Поэтому в технических вопросах этой разницей обычно пренебрегают.

4°. Отклонение падающих тел от вертикали.

Существует целый ряд явлений, указывающих на неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей, и тем самым подтверждающих вращение Земли. Одним из них является наблюдаемое отклонение падающих тел от вертикали. Рассмотрим это явление на основе динамики относительного движения.

Пусть материальная точка  массой  падает без начальной скорости  на Землю с высоты , расположенной на широте . Пренебрежем сопротивлением воздуха и отклонением вертикали от радиуса  и будем считать высоту малой сравнительно с Земным радиусом :, в силу чего вес можно считать постоянным . Возьмем сопутствующую систему  с началом в точке  на поверхности Земли, лежащей на одной вертикали с начальным положением  точки, и направим ось  вертикально вверх, ось  – по касательной к меридиану к юг, а ось  – по касательной к параллели к востоку (Рис.76).