Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 51

При уменьшении коэффициента трения до нуля:  будем иметь , , т.е. области равновесия стягиваются в точки, совпадающие с полюсами, что согласуется с результатами, полученными для гладкой сферы.

29. Принцип Даламбера.

Другой подход к проблеме стесненного движения точки содержится в принципе, предложенном Даламбером в "Трактате о динамике", опубликованном в 1743 году, названном в дальнейшем его именем. Это один из основных принципов механики, позволяющий применять к динамическим задачам статические методы. Принцип можно сформулировать в различных формах.

1°. Первая форма принципа.

Если на свободную материальную точку  действует сила , то, согласно закону Ньютона, она сообщает ей ускорение , направленное по силе:  (Рис.68). При действии же активной силы  на несвободную точку  ее ускорение , как показывают наблюдения, вообще не совпадает с направлением силы. В этом случае разложим активную силу на силу , равную  и, следовательно, направленную по ускорению, и некоторую другую силу  (Рис.69):

,   .                                                                                                       (29.1)

На основании равенства  можно заключить, что движение точки происходит как свободное, но под действием только одной силы , которую по этой причине называют эффективной силой; сила же  при этом как бы теряется, поэтому ее называют потерянной силой. Какова же роль этой силы в движении точки? Ответ содержится в принципе, высказанном Даламбером, который состоит в утверждении: “При несвободном движении точки потерянная сила уравновешивается реакцией связи”:

.                                                                                                                          (29.2)

Из принципа можно получить уравнение свободного движения. Действительно, выразив из (29.1) потерянную силу  и подставив ее в (29.2), получим равенство, из которого, перенеся эффективную силу в другую часть равенства и используя ее определение (29.1), получим основное уравнение динамики несвободного движения

.                                                                                                                       (29.3)

2°. Вторая формулировка принципа.

Введя понятие силы инерции точки, принципу Даламбера можно придать другую, наиболее употребительную форму. Силой инерции точки называют вектор , равный по величине произведению массы точки на ее ускорение и направленный против ускорения:

.                                                                                                                           (29.4)

Сила инерции, очевидно, уравновешивает эффективную силу

.                                                                                                                          (29.5)

Потерянную силу согласно (29.1) и (29.5) можно представить через активную силу и силу инерции в виде

.

Внося это выражение в равенство (29.2), приходим к условию

,                                                                                                                    (29.6)

представляющему собой другое выражение принципа Даламбера: “В каждый момент времени сила инерции точки уравновешивает активные силы и реакцию связи”.

Из принципа Даламбера в форме (29.6) также следует основное уравнение динамики несвободного движения. Действительно, перенося в (29.6) силу инерции в другую часть равенства и используя определение (29.4) этой силы, получаем требуемое уравнение

.                                                                                                                       (29.7)

Таким образом, принцип Даламбера (в первой или второй формах) дает возможность при решении задач динамики составлять уравнения движения в форме уравнений равновесия. Исторически это был первый метод, позволивший единообразным способом составлять уравнения движения любой несвободной точки.