8°. Движение кольца по вращающемуся стержню.
Применение теоремы Кориолиса проиллюстрируем на примере движения кольца по вращающемуся стержню.
Путь кольцо движется по горизонтальному стержню , вращающемуся вокруг вертикальной оси, проходящей через его точку . Требуется определить ускорение кольца относительно земли.
Свяжем неподвижную систему с землей, а подвижную систему – со стержнем (играющим роль среды ) так, чтобы их третьи оси совпадали, а ось была направлена по стержню (Рис.44). Движения кольца и стержня заданы уравнениями
, , ;
, , , , где функции
В относительном движении кольца (по оси ) векторное уравнение движения, скорость и ускорение равны
, , .
В переносном движении (движении стержня) полюс неподвижен
, , , а угловая скорость и угловое ускорение стержня параллельны друг другу и направлены по оси вращения
, .
Следовательно, переносное ускорение равно
,
, .
Кориолисово ускорение имеет значение
.
Абсолютное ускорение кольца согласно теореме Кориолиса определяется выражением
, где компоненты в подвижной системе равны
, , .
Следовательно, его компоненты определяют величину и направление абсолютного ускорения относительно подвижных осей в виде
,
, , .
Таким образом, абсолютное ускорение кольца ортогонально оси вращения, т.е. принадлежит плоскости вращения стержня.
20. Сложное движение тела.
Рассмотрим сложное движение твердого тела.
1°. Сложение движений тела.
Пусть дано относительное и переносное движения тела и требуется определить его абсолютное движение. Относительное движение – движение тела по отношению к среде (в системе (Рис.45)) определяется уравнениями
, , . (20.1)
Здесь первые три уравнения определяют движение полюса относительно среды , а последние три уравнения – ориентацию осей , связанных с телом, относительно осей , связанных со средой. При этом относительные скорость и ускорение полюса определяются формулами
, ; , , , (20.2)
а относительные угловая скорость и угловое ускорение – в виде
, ; , , . (20.3)
Переносное движение – движение среды относительно тела отсчета (в системе (Рис.45)) определяется уравнениями
, , . (20.4)
где первая тройка уравнений дает движение полюса среды относительно “неподвижного” тела , а вторая тройка – определяет ориентацию осей , связанных со средой, относительно “неподвижных”осей . При этом переносные скорость и ускорение полюса определяются формулами
, ; , , , (20.5)
а переносные угловая скорость и ускорение среды – в виде
, ; , , . (20.6)
Выразим абсолютные координаты тела через заданные величины (20.1) и (20.4). Введём соотношение между вектор-радиусами точек и (Рис.45):
(20.7)
и представим входящие в него векторы в базисе неподвижной системы отсчёта. Имеем
, , .
Подстановка этих представлений в (20.7) приводит к равенствам
, из которых для абсолютных координат полюса с учетом (20.1) и (20.4) находим выражения
, (20.8)
определяющие абсолютное движение полюса .
Для получения уравнений абсолютного вращения тела вокруг полюса рассмотрим различные представления для ортов сопутствующих осей . Разлагая эти орты в базисе неподвижной системы, находим
.
С другой стороны, эти же разложения можно получить другим путем, используя формулы:
, , .
Из полученных двух разложений вектора в базисе следует равенство одноименных компонент
, (20.9)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.