Теоретическая механика. Предмет и его место в ряду других наук. Структура механики, страница 7

,   ,   ;                     ,   ,   .

Путем интегрирования зависимостей :

,   ,  

с учетом начальной скорости получим скорость снаряда

,   ,   ;

,   ,   .

По найденной скорости снаряда и его  начальному положению  в результате интегрирования равенств :

,   ,  

получаем уравнения движения снаряда

,   ,   ;

,   ,   .                                                                 (6.2)

Таким образом, снаряд движется в вертикальной плоскости  и его траекторией служит парабола .

3°. Условия попадания.

Для попадания снаряда в самолет требуется совпадение их координат (6.1) и (6.2) в некоторый момент : , что приводит к условиям

,   , которые после упрощений принимают вид

,   .                                                                   (6.3)

Согласно первому из них горизонтальная скорость снаряда должна совпадать со скоростью самолета. Второе условие является квадратным уравнением для времени встречи . Решая его, получаем два момента

.

Условием попадания снаряда в самолет является действительность этих корней, т.е. неотрицательность дискриминанта

.                                                                                                            (6.4)

Из первого в (6.3) условия следуют выражения: , , определяющие угол  в виде . С учетом значения  второе условие (6.4) для начальной скорости дает выражение, определяющее ее в виде . Таким образом, решение задачи имеет вид

,            , т.е. угол возвышения орудия должен иметь определенное значение, а начальная скорость не должна быть меньше некоторого значения; эти значения определяются исходными данными движения тел.

При минимальных значениях начальной скорости и угла

,  

моменты встречи  и  совпадают, т.е. траектория  снаряда касается траектории  самолета (Рис.8). При ,  будем иметь  и траектория  снаряда дважды пересечет траекторию  самолета. Если же , , то моменты встречи ,  становятся комплексными. Это означает, что снаряда не попадет в самолет , их траектории не пересекутся. В этом случае траектория  снаряда проходит ниже траектории  самолета, не достигая ее.

7. Ортогональная криволинейная система координат.

Помимо прямоугольной декартовой системы координат для представления движения точки относительно тела отсчета может быть использована произвольная криволинейная координатная система. В классической механике обычно используют ортогональные криволинейные системы. Рассмотрим особенности таких систем.

1°. Координатные поверхности и линии.

Рассмотрим представления декартовых координат точки через три независимых параметра :

             .                                                                                 (7.1)

Относительно функций  предполагаем, что они однозначны и трижды непрерывно-дифференцируемыми в области изменения параметров и что отличен от нуля определитель третьего порядка – якобиан

.                                                                                                               (7.2)

Условие (7.2) означает, что зависимости (7.1) могут быть обращены, т.е. величины  можно выразить как функции переменных :

                        .                                                                                 (7.3)

Задание тройки чисел  означает в силу (7.1) задание декартовых координат  и тем самым фиксирование некоторой точки пространства. Обратно, каждой точке пространства соответствует три декартовых координаты , а в силу (7.3) и три числа . Тем самым между тройкой величин  и точкой пространства существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет называть  обобщенными координатами. Каждое из уравнений

               (7.4)

геометрически определяет некоторую криволинейную поверхность, называемую координатной. Пересечение трех координатных поверхностей определяет в пространстве точку  (Рис.9).