Согласно (16.14) ускорение точки плоской фигуры равно векторной сумме ускорения полюса, сложенного с касательным и нормальным ускорениями при ее вращении вокруг полюса (Рис.33).
Для вычисления ускорения точки в подвижных осях установим его компоненты в этой системе. Согласно (16.14) и (16.15) имеем
,,.(16.16)
Здесь согласно (16.7), (16.13) и (16.15) компоненты , и равны
, , ;
, , , , , а компоненты ускорения полюса имеют значения :
, , .
С учетом полученных выражений компоненты (16.16), модуль и направление ускорения относительно подвижных осей определяются формулами
,
,
; (16.17)
, , , .
Аналогично вычисляется ускорение точки в неподвижных осях. В этих осях согласно (16.14) и (16.15) получаем
,,. (16.18)
Здесь согласно (16.7), (16.13) и (16.15) компоненты , , и в неподвижной системе равны :
, , ; , ,
,,,
, , .
Следовательно, компоненты (16.18) модуль и направление ускорения точки относительно неподвижных осей выражаются формулами
,
,
; (16.19)
, , , .
Согласно формулам (16.16) (или (16.19)), ускорение точки, подобно скорости, лежит в плоскости ее движения.
5°. Карданово движение плоской фигуры.
В качестве примера плоского движения рассмотрим карданово движение. Кардановым называют такое движение плоской фигуры, при котором две ее точки и перемещаются по двум взаимно ортогональным прямым.
Примем эти прямые за оси и системы отсчете (Рис.34). Пусть точка движется по оси , а точка – по оси . Обозначим через неизменное расстояние между точками. Примем за полюс фигуры середину отрезка и направим сопутствующие оси фигуры , ортогонально этому отрезку и вдоль него. Тогда уравнения движения фигуры примут вид
, , , (16.20)
где – произвольная функция. Тем самым, из трех функций , , , определяющих плоское движение, в кардановом движении, независима только одна.
Рассмотрим движение произвольной точки фигуры и установим вид ее траектории. Общие уравнения движения точки фигуры в данном случае принимают вид
,
. (16.21)
Для получения уравнения траектории в явном виде достаточно из этих уравнений исключить параметр . С этой целью вначале разрешим уравнения относительно синуса и косинуса
, , а затем исключим угол с помощью тождества :
. (16.22)
Полученное уравнение можно представить в форме
, (16.23)
где
, , , . (16.24)
Отсюда видно, что траекторией точки служит центральная кривая второго порядка. Для определения ее вида составим дискриминант уравнения
.
Для точек фигуры, не лежащих на окружности :
, (16.25)
дискриминант отрицателен, следовательно траекторией точки является эллипс. Центр этого эллипса находится в начале координат (поскольку уравнение траектории не содержит членов первой степени относительно ), a оси симметрии эллипса в силу повернуты на некоторый угол относительно координатных осей.
В частной случае, когда точка принадлежит отрезку , имеем и уравнение эллипса (16.22) принимает вид
.
Его, очевидно, можно представить в форме
, откуда следует, что осями симметрии эллипса являются координатные оси, а полуосями служат величины и .
В другом частном случае, когда точка лежит на окружности , уравнение траектории (16.22) будет иметь вид
. (16.26)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.