* параллельное оценивание неизвестных ковариационных матриц;
* исследование проблем нелинейной фильтрации: одновременное получение оценок состояния и параметров объекта; оценивание состояния нелинейных объектов.
Пример 7.1. Рассмотрим объект второго порядка с передаточной функцией
Gp (z) =
a). Каноническая форма управляемости:
A =
A(z) = det [zI - A] = Az2 + a1z + a2;
B(z) = [b2b1]×
В случае диагональной матрицы F имеем
.
Если входной сигнал xi(k) представляет собой белый шум, коэффициенты полиномов числителей в уравнении (7.51) Di(z) = d1i×z +d2i можно определить, задаваясь следующими условиями:
xi(k) ¹0; x2(k) = 0; f1¹0; f2 ¹0;
d1i = f1×b1;
d2i = f1×b2.
xi(k) =0; x2(k) ¹0; f1 =0; f2 ¹0;
d12 = f2×b2;
d22 = f2×a1×b2 + a2×b1.
Таким образом, параметры d1i и d2iне могут принимать произвольные значения, поскольку они зависят друг от друга, и выбор одного коэффициента однозначно определяет величину другого.
б). Каноническая форма наблюдаемости:
А =
A(z) = z2 +a1×z+a2;
B(z) = [0 1]
DT(z) = [1 z]
Следовательно, для данной формы описания числители фильтров помехи имеют вид
D1(z) = d21z = f1z при x1(k) ¹0; x2(k) = 0;
D2(z) = d12 = f2 приx1(k) = 0; x2(k) ¹0.
Вновь коэффициенты d1i и d2i нельзя задавать произвольно, так как один из этих параметров всегда должен быть равен нулю.
Приведенный пример позволяет заключить, что в тех случаях, когда сигнал возмущения x(k) или v(k) является векторным "белым шумом" с независимыми случайными компонентами, параметры числителей соответствующих формирующих фильтров могут принимать лишь вполне определенные значения. Однако, данное правило не действует, если, например, все составляющие случайного возмущения равны между собой:
x1(k) = x2(k) = . . . = xm(k) = x(k).
При этом матрица F преобразуется в вектор
fт = [fm fm-1 . . . f1].
Числитель формирующего фильтра в примере 7.1. принимает вид
D(z) = d1×z + d2,
причем:
а) для канонической формы управляемости
б) для канонической формы наблюдаемости
d2 = f2,
d1 = f1.
Очевидно, параметры полинома D не зависят друг от друга, а все элементы ковариационной матрицы возмущения имеют одинаковые значения, т. е.
Поскольку при sx ¹ 0 эта матрица положительно полуопределена, по-прежнему справедлива модель (7.21).
Пример 7.2. Рассмотрим скалярную систему
и функцию стоимости
Поэтому, решение можно записать либо как
либо
где x1 иx2 выбраны так, чтобы p(tj) = s.
Например, если
а) s = 0, tj = 1, то x1 = 1,845 радиан, что дает
K(t) = -R-1 BT P= 0,5 - 1,5 th( - 1,5t + 1,845).
Поскольку s = 0, то мы не придаем особого значения состоянию в конечный момент времени и “усиление” (и управление) в конечный момент времени стремится к нулю;
б) s = 10, tj = 10, тогда x2 = 15,1425 радиан. В этом случае ошибке при t = tj придается большой вес, и в момент достижения усиление становится большим (-10);
в) s = ¥, непосредственного решения уравнения Риккати получено быть не может, так как начальное условие бесконечно. Можно решить “инверсное” уравнение Риккати при нулевом граничном условии, в результате чего получим
Легко показать, что если tf не ограничено, то K(t) становится равным единице и, как следовало ожидать, усиление обратной связи становится постоянным.
Пример 7.3. В данном примере будет рассмотрена простая скалярная задача, которая решается достаточно просто. Минимизируется функция стоимости
при ограничении в форме равенств
x(k+1) = x(k) + a× u(k), x(o) = 1,
x(10) = 0.
Вводя заданное ограничение в исходную функцию стоимости с помощью множителей Лагранжа, получим
Множители Лагранжа введены потому, что это приводит к упрощению конечного результата. Для рассматриваемого примера
Таким образом, дискретное уравнение Эйлера - Лагранжа (7.18) имеет вид
l(k) - l(k+1) = u(k)+a×l(k+1) = 0.
Кроме того, исходное уравнение должно быть справедливо при заданных граничных условиях
x(k+1) = x(k)+a× u(k), x(0) = 1, x(10) = 0.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.