Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 75

параллельное оценивание неизвестных ковариационных матриц;

исследование проблем нелинейной фильтрации: одновременное получение оценок состояния и параметров объекта; оценивание состояния нелинейных объектов.

7.7. Примеры и задачи

Пример 7.1. Рассмотрим объект второго порядка с передаточной функцией

Gp (z) =

a). Каноническая форма управляемости:

A =

A(z) = det [zI - A] = Az2 + a1z + a2;

B(z) = [b2b1

В случае диагональной матрицы F имеем

.

Если входной сигнал xi(k) представляет собой белый шум, коэффициенты полиномов числителей в уравнении (7.51) Di(z) = d1i×z +d2i можно определить, задаваясь следующими условиями:

xi(k) ¹0; x2(k) = 0; f1¹0; f2 ¹0;

d1i = fb1;

d2i = fb2.

xi(k) =0; x2(k) ¹0; f1 =0; f2 ¹0;

d12 = f2×b2;

d22 = f2×a1×b2 + a2×b1.

Таким образом, параметры d1i и d2iне могут принимать произвольные значения, поскольку они зависят друг от друга, и выбор одного коэффициента однозначно определяет величину другого.

б). Каноническая форма наблюдаемости:

А =

A(z) = z2 +a1×z+a2;

B(z) = [0  1]

DT(z) = [1  z]

Следовательно, для данной формы описания числители фильтров помехи имеют вид

D1(z) = d21z = f1при x1(k) ¹0; x2(k) = 0;

D2(z) = d12 =  fприx1(k) = 0x2(k) ¹0.

Вновь коэффициенты d1i и d2i нельзя задавать произвольно, так как один из этих параметров всегда должен быть равен нулю.

Приведенный пример позволяет заключить, что в тех случаях, когда сигнал возмущения x(k) или v(k) является векторным "белым шумом" с независимыми случайными компонентами, параметры числителей соответствующих формирующих фильтров могут принимать лишь вполне определенные значения. Однако, данное правило не действует, если, например, все составляющие случайного возмущения равны между собой:

x1(k) = x2(k) = . . . = xm(k) = x(k).

При этом матрица F преобразуется в вектор

fт = [fm  fm-1 . . . f1].

Числитель формирующего фильтра в примере 7.1. принимает вид

D(z) = d1×z + d2,

причем:

а) для канонической формы управляемости

б) для канонической формы наблюдаемости

d2 = f2,

d1 = f1.

 Очевидно, параметры полинома D не зависят друг от друга, а все элементы ковариационной матрицы возмущения имеют одинаковые значения, т. е.

 

Поскольку при sx ¹ 0 эта матрица положительно полуопределена, по-прежнему справедлива модель (7.21).

Пример 7.2. Рассмотрим скалярную систему

и функцию стоимости

Поэтому, решение можно записать либо как

либо

где x1 иx2 выбраны так, чтобы p(tj) = s.

Например, если

а) s = 0, tj = 1, то x1 = 1,845 радиан, что дает

K(t) = -R-1 BT P= 0,5 - 1,5 th( - 1,5t + 1,845).

Поскольку s = 0, то мы не придаем особого значения состоянию в конечный момент времени и “усиление” (и управление) в конечный момент времени стремится к нулю;

б) s = 10, tj = 10, тогда  x2 = 15,1425 радиан. В этом случае ошибке при t = tj придается большой вес, и в момент достижения усиление становится большим (-10);

в) s = ¥, непосредственного решения уравнения Риккати получено быть не может, так как начальное условие бесконечно. Можно решить “инверсное” уравнение Риккати при нулевом граничном условии, в результате чего получим

Легко показать, что если tf не ограничено, то K(t) становится равным единице и, как следовало ожидать, усиление обратной связи становится постоянным.

Пример 7.3.  В данном примере будет рассмотрена простая скалярная задача, которая решается достаточно просто. Минимизируется функция стоимости

при ограничении  в форме равенств

x(k+1) = x(k) + a× u(k),       x(o) = 1,

x(10) = 0.

Вводя заданное ограничение в исходную функцию стоимости с помощью множителей Лагранжа, получим

Множители Лагранжа введены потому, что это приводит к упрощению конечного результата. Для рассматриваемого примера

Таким образом, дискретное уравнение Эйлера - Лагранжа (7.18) имеет вид

l(k) - l(k+1) = u(k)+a×l(k+1) = 0.

Кроме того, исходное уравнение должно быть справедливо при заданных граничных условиях

x(k+1) = x(k)+a× u(k),       x(0) = 1,      x(10) = 0.