Другие предметы \ Теоретические основы автоматизированного управления

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 74

 - значение x(k+1), предсказанное на основе ранее полученной оценки (k);

y2 = y(k+1) -  новое измерение выходного сигнала.

Предсказанное значение вектора состояния определяется по формуле

(7.77)

Здесь вместо неизвестной величины v(k) использовано ее математическое ожидание  C учетом введенных обозначений рекуррентный алгоритм оценивания приобретает вид

(7.78)

Как следует из соотношений (7.74), для того чтобы вычислить матрицу коррекции K(k+1), необходимо знать ковариационные матрицы Q(k+1) вектора  и Y вектора y(k+1). Ковариационная матрица ошибки оценки равна

P(k) = E{

(7.79)

Учитывая, что векторы  и v(k) не коррелированы, согласно (7.77), при

имеем

Q(k+1) = E{(x(k+1) - E{x(k+1)})(x(k+1) -

-E{x(k+1)})T}= AP(k) AT + FVFT.

(7.80)

Аналогичным образом уравнение (7.60) дает

Y(k+1) = E{(y(k+1) - E{y(k+1)}) (y(k+1) -

                                   - E{y(k+1)})T} = E{n(k+1) nT(k+1)} = N.

(7.81)

Отсюда следует, что матрица корреляции (7.74) в рассматриваемом случае определяется как

K(k+1) = Q(k+1) CT [CQ(k+1) CT+N]-1,

(7.82)

а ковариационная матрица оценки  - как

P(k+1) = Q(k+1) - K(k+1)×C×Q(k+1).

(7.83)

Имея все необходимые соотношения, подставим предсказанное значение  задаваемое формулой (7.77), в уравнение (7.78) с учетом  В результате получаем рекуррентный алгоритм оценивания, описывающий фильтр Калмана:

(k+1) = A×(k)+K(k+1)×[y(k+1) - C×A×(k)].

(7.84)

Отметим некоторые особенности реализации алгоритма.

Исходное состояние. Для того чтобы можно было начать вычисления по рекуррентной формуле (7.84), необходимо иметь исходное значение оценки вектора состояния. Если нужная информация отсутствует, задается

Требуется знать и начальное приближение для ковариационной матрицы оценки Р(0). Однако, даже если параметры (0) и Р(0) не отличаются особой точностью, уже при небольших k они практически не сказываются на результатах вычислений.

 Матрица коррекции. Матрица коррекции не зависит от измеряемых сигналов, ввиду чего все ее значения могут быть вычислены заранее. Подстановка (7.83) в уравнение (7.82) дает

K(k+1) = P(k+1)×CT× N-1.

(7.85)

Если в системе действуют стационарные процессы, при k®¥ матрица К(k+1) стремится к своему установившемуся значению. Следовательно, в этом случае ковариационные матрицыP и Qтакже сходятся. Известно, что их предельные значения можно определить, решив систему уравнений

P-1 = Q-1 + CTN-1 C;

(7.86)

Q = APAT + FVFT.

(7.87)

Динамические объекты с измеримым входом u(k).Если на объект воздействует детерминированный или случайный входной сигнал u(k), взвешенный матрицей В, предсказанное состояние вычисляется по формуле

которая после подстановки в уравнение (7.78) дает

                           

Ортогональные свойства. Рекуррентный алгоритм оценивания был получен Р. Калманом из условия ортогональности текущей оценки предшествующим измерениям выхода:

Однако можно показать, что оценки с минимальной дисперсией обладают и другими ортогональными свойствами:

 

а при

получим

Из этих соотношений также следует, что значения сигнала ошибки

e(k+1) = y(k+1) - CA

статистически независимы, т. е.

 при i ¹ j.

Обобщения фильтра Калмана. После 1960 г. было опубликовано много работ, в которых проблема построения алгоритмов фильтрации исследовались при более общих условиях по сравнению с исходным фильтром Калмана. Среди них наибольший интерес представляют следующие вопросы:

*   оценивание при наличии корреляции между входным возмущением v(k) и шумом измерений n(k);

*   оценивание при коррелированном окрашенном входном возмущении v(k);

*   оценивание при коррелированном шуме измерений n(k);

*   анализ влияния ошибок в задании начального состояния, ковариационных матриц и параметров объекта на сходимость (расходимость) оценок;

Скачать файл