Учебно-методический комплекс по дисциплине «Теоретические основы автоматизированного управления», страница 52

Задача 3.1.Определите разностное уравнение и дискретную передаточную функцию колебательного звена, дифференциальное уравнение которого приведено в примере 2.1.

Задача 3.2.Определите разностное уравнение и дискретную передаточную функцию ПИ-регулятора.

Рис. 3.11.

Задача 3.3.Определите разностное уравнение и дискретную передаточную функцию ПИД-регулятора.

Глава 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ САУ

Внешние возмущения в реальных условиях функционирования САУ обычно имеют случайный характер. Поэтому для математического описания возмущений, действующих на объекты управления, и САУ в целом естественно использовать стохастический, или случайный принцип построения моделей. Такой подход позволяет охватить широкий класс возмущений, что ведет к хорошей постановке задач управления с прогнозированием. Однако для анализа стохастических моделей САУ необходимо применять специальный математический аппарат.

4.1. Стохастические процессы

Понятие "стохастический процесс" довольно сложно. Чтобы прийти к его правильному пониманию, выдающимся ученым потребовалась не одна сотня лет. Окончательно понятие стохастического процессабыло сформулировано в работе А. Н. Колмогорова в 1930 г. В данном учебном пособии дано лишь простое изложение основных понятий.

Стохастический процесс (случайный процесс, случайная функция) можно рассматривать как семейство стохастических переменных  Стохастические переменные индексируются параметромt, который принадлежит множеству Т, называемому множеством индексов. В теории стохастического управления он интерпретируется как время. Таким образом, Т - это множество действительных переменных. В случае дискретных стохастических систем множествоТ - это совокупность моментов квантования, т. е. Т = { ..., -h, 0, h, ...}, или T = { ..., -1, 0, 1, ...}, если период квантования h равен единице.

Случайный процесс можно рассматривать как функцию x(t, u) двух переменных. Для фиксированного u= u₀ функция x (· , u₀) сводится к обычной функции времени, называемой реализациейПри фиксированном t = t₀функция x (t₀, ·) есть случайная величина. Следовательно, можно считать. что случайный процесс вырабатывается генератором случайных сигналов. Аргумент u при записи частот опускают.

Полностью детерминированные стохастические процессы. Одна из возможностей получения случайного процесса заключается в том, чтобы задать в качестве начального условия для обыкновенного дифференциального уравнения случайную величину и, решая его, генерировать функции времени. Однако случайные процессы данного типа малоинтересны, поскольку они “недостаточно случайны”. Это становится очевидным при анализе случайного процесса, вырабатываемого интегратором со случайными начальными условиями. Так как выход интегратора постоянен, то

x (t, u) - x (t - h, u) = 0

для всех t, h и u. Такой стохастический процесс называется полностью детерминированным процессом, потому что его будущие значения могут быть точно определены по его прошлому.

Вообще говоря, случайный процесс x(t u), называют полностью детерминированным, если l{x (t, u)} = 0 почти для всех u(здесь l{ }- произвольный линейный оператор, не тождественно равный нулю). Это значит, что полностью детерминированные случайные процессы можно прогнозировать с помощью линейного предиктора почти для всех u(почти всеuозначает всеu, кроме возможного множества точек с мерой нуль).

Полностью детерминированные случайные процессы тесно связаны с сигналами, рассмотренными в разделе 2.4. Такие сигналы становятся полностью детерминированными случайными процессами, если в качестве начальных условий для динамических систем выбраны случайные процессы. Однако их обычно не рассматривают, так как они слишком регулярны, чтобы представлять какой-либо интерес.

Основные понятия теории случайных процессов. Значения случайного процесса вn различных моментов времени представляют собой n-мерные случайные величины. Функция

называется конечномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса (в (4.1) Р- вероятность).