Другими словами, темп роста экономики на стационарной траектории должен равняться темпу накопления капитала и находиться на уровне l+q - сумме темпа прироста населения и темпа технологического прогресса; душевой доход, как и капиталовооруженность живого труда, растут темпом равным темпу технологического прогресса. Графически (Рис.11.5) линия (d+l+q)×k пройдет еще круче и выше, чем линия (d+l)×k и пересечет график линии сбережения, отнесенного к эффективному труду еще левее. При прочих равных условиях максимально достижимый уровень капиталовооруженности будет меньше, чем в модели без технологического прогресса. За данным фактом стоит то, что поддержание темпов роста капиталовооруженности на уровне, соответствующем стационарной траектории, требует отвлечения определенной доли инвестиций.
11.6 Устойчивость стационарных траекторий
Как уже указывалось, траектория равновесного роста обладает свойством устойчивости. Мы уже демонстрировали указанное свойство, рассуждая логически и используя графическое представление. Теперь покажем формально устойчивость стационарных траекторий. Для этого используем функцию Ляпунова. Зададим ее следующим образом:
V(t)=(k(t)-k*)2
Если k(t)=k*, то экономика находится на стационарной траектории и тогда V(t)=0. В противном случае V(t)>0. Система является устойчивой, если dV/dt<0, т.е. если с течением времени разность между k(t) и k* сокращается и исчезает.
Введем обозначение z=k(t)-k*, так, что V(t)=z2. Продифференцировав V(t) по времени, получим:
dV(t)/dt=2×z×(dz/dt)
Поскольку dz/dt=dk/dt, то, в соответствии с фундаментальным соотношением Солоу (dk/dt=s×f(k)- (d+l+q)×k), имеет место:
dV(t)/dt=2×z×[f(k)-(d+l+q)×k]
или, поскольку k(t)=z+k*, то выполняется:
dV(t)/dt=2×z×[f(z+k*)-(d+l+q)×( z+k*)].
Теперь, вогнутость производственной функции f(×) предполагает, что [f(z+k*)- f(k*)]/z£f¢(z) или еще по-другому: f(z+k*)£f(k*)+f¢(k*). Таким образом, имеет место:
DV(t)/dt£2×z×[s×f(k*)+s×z×f¢(k*)-(d+l+q)×(z+k*)].
Поскольку s×f¢(k*)=(d+l+q)×k*, то
dV(t)/dt£2×z×[s×z×f¢(k*)-(d+l+q)×z].
Далее, поскольку s×f¢(k*)=(d+l+q)×k*, постольку ×s=(d+l+q)×k*/f¢(k*), таким образом:
dV(t)/dt£2×z×[z×(d+l+q)×k*f¢(k*)-(d+l+q)×z]
Вынесем величину (d+l+q)×z/f(k*), получим:
dV(t)/dt£[2×(d+l+q)×z2/f(k*)]×[k*×f¢(k*)-f(k*)]
Теперь вынесем (-1):
dV(t)/dt£-[2×(d+l+q)×z2/f(k*)]×[f(k*)-k*×f¢(k*)]
Заметим, что поскольку мы вменяем производственной функции свойство постоянной отдачи от расширения масштаба, то величина [f(k*)-k*×f¢(k*)] есть предельный продукт труда, который, по смыслу, положителен; в то же время величина [2×(d+l+q)×z2/f(k*)] не отрицательна. Это значит, что
dV(t)/dt<0
и, следовательно, уровень капиталовооруженности, соответствующий стационарной траектории обладает свойством глобальной устойчивости. Другими словами, экономическая система приходит к капиталовооруженности, соответствующей стационарной траектории k*, при любом ненулевом начальном значении капиталовооруженности k. Что и требовалось доказать.
11.7 Золотое правило накопления
Рассмотренная модель исходит из вполне определенной экзогенной нормы сбережения, определяемой исходя из условий, которые не учтены в ее рамках (например, это - система предпочтения членов данного общества). Мы видели, что рост нормы сбережения ведет к увеличению душевого дохода, соответствующего стационарной траектории. С другой стороны, понятно, что это не всегда приводит к росту душевого потребления конечной продукции. Так, если норма сбережений равна 1, то потребление будет нулевым, даже при очень высоком уровне производительности труда: весь созданный продукт будет направляться на воспроизводство капитала. Тогда встает вопрос, а существует ли такая норма сбережения, при которой достигается максимальное душевое потребление? Для ответа на данный вопрос необходимо поставить задачу оптимизации потребления на душу населения (в данном случае, рассчитанную с использованием эффективного труда):
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.