Основные экономические школы и место новой классической экономики и школы реального делового цикла в общей структуре экономической теории, страница 17

Ее решение удовлетворяет следующему соотношению:

df/dl(l^*)=-(¶u/¶l(c^*, l^*)):(¶u/¶c(c^*, l^*)).

Поскольку одновременно ¶a/¶l(u^*, l^*)= -(¶u/¶l(c^*, l^*)):(¶u/¶c(c^*, l^*)), то можно записать:

df/dl(l^*)=¶a/¶l(u^*, l^*),

т.е. в точке оптимума наклон производственной функции равен наклону соответствующей кривой безразличия - две указанные линии как раз касаются друг друга (на Рис. 3.7 - точка A).

Задача (3.6)-(3.8) может быть сведена к задаче безусловной оптимизации:

max u(f(l), l)=max U(l)                                            (3.9).

Возьмем производную функции U(l) по l:

U¢(l)=¶u/¶c×df/dl+¶u/¶l.

Поделив на величину ¶u/¶c и приняв во внимание, что ¶u/¶l:¶u/¶c=-¶a/¶l(u, l), получим:

U¢(l):¶u/¶c =×df/dl-¶a/¶l(u, l)                        (3.10)

Поскольку имеет место условие ¶u/¶c>0, то величина U(l)¢:¶u/¶c во всех случаях имеет тот же знак, что и U(l)¢ и при тех же значениях l обращается в ноль. Она положительна, когда наклон графика производственной функции df/dl в точке пересечения с данной кривой безразличия больше наклона данной кривой безразличия ¶a/¶l(u, l) (см. точку B на графике 3.7). Это означает, что дополнительная единица труда, затраченная на выпуск блага, дает продукции больше, чем требуется в потреблении для компенсации затраченного времени. В данном случае увеличение затрат труда увеличивает функцию полезности рассматриваемого агента; значит увеличение интенсивности трудовых затрат эффективно.

Наоборот, если величина U(l)¢ отрицательна, то наклон графика производственной функции df/dl в точке пересечения с данной кривой безразличия меньше наклона данной кривой ¶a/¶l(u, l) (точка C графика 3.7). В этом случае дополнительная единица труда не создает достаточного продукта для ее компенсации. Тогда рост затрат труда снижает значение функции полезности рассматриваемого агента; значит эффективно снижение интенсивности трудовых затрат.

При значении величины U(l)¢ равном нулю наклон графика производственной функции как раз совпадает с наклоном кривой безразличия, которая проходит через ту же точку, что и дает равновесие потребителя (точка A). Понятно, что в этом случае дополнительная единица труда, затраченная для производства благ, создает указанных благ как раз в количестве необходимом для компенсации затрат данной единицы труда.

Поскольку производственная функция монотонно возрастает, то можно также утверждать следующее: если в данной точке (c, l) наклон графика производственной функции f^-¢(l) превышает наклон, проходящей через эту точку кривой безразличия ¶a/¶l(u, l), то объем потребления должен быть увеличен; наоборот, если он меньше, то переход к оптимальной точке (c^*, l^*) сопряжен с уменьшением объема потребления. Когда наклоны обоих кривых совпадают, то объем потребления - оптимален.

Полученные результаты удобно сформулировать в виде следующей леммы:

ЛЕММА 1: Пусть (c^*, l^*)- оптимальное решение задачи (3.6)-(3.8). Тогда для любой точки (c, l), допустимой в данной задаче и соответствующем им значении целевой функции u=u(c, l) является верным следующее утверждение:

Еслиf¢(l)>¶a/¶l(u, l), то l<l^* и c<c^*,

Если f¢(l)<¶a/¶l(u, l), то l>l^* и c>c^*,

Если f¢(l)=¶a/¶l(u, l), то l=l^* и c=c^*,

3.4 Воздействие шоков предложения

Теперь можно рассмотреть, каким образом на объемах трудовых затрат и потребления сказываются рассмотренные выше шоки предложения. Предположим, что имеется исходное равновесное состояние системы (c¹, l¹), которое достигнуто при предпочтениях, описываемых функцией полезности u(c, l) и производственных возможностях, которые характеризуются производственной функцией y=f(l); при этом, как и раньше c=y. Пусть теперь происходит позитивный шок предложения, меняющий производственную функцию, обозначаемую теперь y=F(l), таким образом, что:

F(l)>f(l) и dF(l)/dl> df(l)/dl,

так что шок является пропорциональным.