Фильтрация газов в трещиноватых коллекторах, страница 88

Здесь р — давление в точке пласта с координатой г в момент t; q* — дебит скважины, приведенный к атмосферному давле­нию и пластовой температуре; k₀, т₀, ц_ат — характерные вели­чины.

Задача (ПО), (111) в безразмерной форме принимает вид:

d        k*(p)       _др*2      ^ т*{р) |- I       {   1       dz(p)

ди  ' ii* (р) г (р)  '   ди 1         dm* (p)

(ИЗ)

2/г*(р)

(114)

ы = о,

« = о

Положим a{p*)=k*{p)lv*(p)z{p)_t задачу (113) —(114) представим в следующей конечно-разностной форме (для про­стоты звездочки опустим):

°(Pt₊4,.i+l)

pi+i.i

-^a(P'-y,.t

Pi

(-1./+1

(Aa)²

'i.f+l)

,

(П5)

Уравнение (115) справедливо для всех внутренних узловых точек i=l, 2, 3,..., п— 1 и 0>О (Aw —шаг по пространственной координате, т — шаг по временной координате). Условия (114)

153,

относительно новых безразмерных переменных записываются в шиле следующих конечно-разностных уравнений:

6 = 0,   p. _n = 1,   i = 0, 1, 2, . . . , я,

*о>

Ли

(116)

Запишем уравнение (115) в линеаризованном виде (при про­ведении расчетов в первом приближении на (/+1)-м времен-жбм слое):

2             _2                              _2               „2

\P*+lt/+l        "t,f+l       * (Т /_п                                   \  111

/+1/               /А.ла                        \"t~*/_tff+l/

(Ди)а                       v •-

i,i)  IP       \ 2       ^dP         ^m

X

P?,/+l-P?./

(117)

Уравнение (117) является неявным сеточным уравнением, так как левая часть уравнения (113) отнесена к временному ■слою (/ + 1).

Записав уравнение (117) для точек г=1, 2, 3, .„, п—1, по­лучим систему из (л—1) уравнений с (я+1) неизвестными — ро, з+ь Pi.j+ь —. Pn,j+u Граничные условия в точках г=0 и i — n дают еще два уравнения. Следовательно, для нахождения приближенного решения задачи на временном слое (j-t-l)kt требуется решить систему из (п+\) линеаризованных алгеб­раических уравнений с (л+1) неизвестными.

Обозначив

_dP

 ,

(П8)

примем, что в (116) o{pi,j+i)~ о(р_г,з). Решение системы урав­нений (117) —(118) находим, используя метод прогонки — наиболее распространенный способ решения системы алгебраи­ческих уравнений с трехдиагональной матрицей. Запишем си­стему уравнений (417) с учетом (118) в следующем виде:

A_t,i+iP²_t__lfl+l— Ct.f+ip²_ttI+l i = 1, 2, . . . , л—1.

154

Здесь At

(Am)²     '

2и,

Решение системы уравнений (116), (119) запишем в виде:

P?./+i =«*+!,ж P?₊i./+i+P'./+i.   ' = °. 1, 2, . . . , л —1.

(121)

Рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов ai+i,j+i и рг+i.j+i имеют вид:

а

А

(122)

Величины ai,j+i и pi.j+i находим из (121) и граничного усло­вия на стенке скважины (116) при / = 0:

Рекуррентные соотношения для определения   прогоночных коэффициентов a^+i.j+i и fii+ij+i с учетом (120) запишутся в виде (122). Для i—n—1 имеем из (121):

 (125)

Согласно условию на внешней границе пласта имеем, что

 (126)

Тогда находим, что

Процесс решения исходной задачи сводится к последова­тельному вычислению прогоночных коэффициентов a*, j+i и Рг, ж в порядке возрастания индекса i и затем к вычислению в обратном порядке величин p²i,j+i в порядке убывания индекса

155