Фильтрация газов в трещиноватых коллекторах, страница 69

Газовую залежь аппроксимируем укрупненной скважиной ра­диусом R₃. Текущий радиус границы раздела газ — вода обозна­чим через R(t). Уравнение материального баланса в случае во­донапорного режима применительно к деформируемому коллек­тору можно записать в виде (при пренебрежении защемленным газом в обводненой зоне пласта):

г (р (0) [p_HaQ_H/z_K    p_aTQ^o6 Щ                                                                                     ™

Здесь Q_B(t)—суммарное количество .воды, поступившей в залежь в момент t.

Рекуррентную формулу для суммарного количества воды,, поступившей в залежь на момент t, можно представить в виде:

+q_B(t)At.                                                         (54)

Здесь #_в(0—средний дебит поступившей в залежь воды за интервал времени [t—А^, t]; Q_B(t—А^) — суммарное количество поступившей в залежь воды к моменту t—А^; А^^-шаг по вре­мени.

Задача теории упругого режима фильтрации для укрупнен­ной скважины при пуске ее в работу с постоянным во времени дебитом (в случае недеформируемого пласта) формулируется следующим образом.

Необходимо найти решение 'дифференциального  уравнения

 (55У

г     дг       дг*       х     dt при следующих условиях:

t = 0,   р^=_Ря = const,                                                                                        (56)

г = #з>   <7в = ^const>                                                                                       (⁵⁷)"

_г_ оо,   р = р_ш.                                                                                        (58)В уравнении (55) х = £/|л_вр* — коэффициент пьезопроводно-сти; k—коэффициент проницаемости водоносного пласта; \i_B — коэффициент динамической вязкости воды; р* — коэффициент упругоемкости пласта; р_н — начальное давление в водоносном пласте.

120

Задача (55) — (58) в теории упругого режима изучена хоро­шо. Предположим, что коэффициент пьезопроводности % вслед­ствие деформации пласта изменяется во времени. Тогда вместо уравнения (55) имеем

_L   ^      fflp ₌    1       dp                                                                                               ₍₅₉ч

г     дг       дг²       K(t)      dt  '

Решение интересующей нас задачи сводится к решению урав­нения (59) при соответствующих условиях. Чтобы воспользо­ваться известными решениями, например, Ван Эвердингена и; Херста, введем новую временную переменную

l                                                                                 (60>

Заметим, что такой подход рассмотрен в работе [46]. С учетом новой временной переменной т, согласно (60), уравнение (59) запишется следующим образом:

г      дг       дг²       х'     дт

Начальное условие изменится и примет вид:

т = 0,   р = р_н = const.                                                                                       (62)<

Здесь х' = &о/м<в{3*; &о — коэффициент проницаемости водонос­ного пласта при р_н.

Согласно принципу суперпозиции и теории упругого режима,, решение (61), (62), (57), (58) относительно новой временной переменной т запишется следующим образом:

= А. - -~ГГ ^[?в (^т) — ЯА* — Ат)] р (fo - &>„_,) 2nk_Qn

п—\              _

 у &q  р (f₀ — fo, J.                                                                (63)

Здесь <7в(т—At)—средний дебит поступающей в залежь воды для предыдущего временного шага; q_B(%) — средний дебит поступающей в залежь воды для интервала времени [т—Ат, т]; j?(fo) —табулированная функция безразмерного времени fo; Aq_sj = q_B(tj)—<7b(t.j—At); t,- = /At; безразмерное время (пара­метр Фурье) в нашем случае определяется равенством

fo - x'xlRl                                                                                                    (64).

Связь между давлениями на расстояниях R₃ и R(t) устанав­ливается по следующей формуле:

" fP (0 + УвУ (0 ]}                                                С

12L