Приемно-передающие устройства радио­технических систем: Учебное пособие, страница 48

Для нахождения результирующих шумов вычислений на вы­ходе ЦСФ воспользуемся методикой, применявшейся для нахож­дения выходных шумов амплитудного квантования (3.43, 3.44). Пусть ЦСФ содержит  источников шума вычислений , а комплексная характеристика части ЦСФ от  -того источника шума до выхода фильтра равна . Тогда дисперсия шумов вычислений на выходе ЦСФ, вызываемых j-тым источником, бу­дет   равна

а результирующая дисперсия шумов вычислений на выходе ЦСФ

Используя последнее выражение, определим дисперсию шу­мов вычислений на выходе ЦСФ (рис. 3.19), вычисляющего либо ДПФ (считая ), либо значение корреляционной сум­мы во временной области. И в том, и в другом случае упрощенная структурная схема ЦСФ с учетом ошибок вычислений по одной

на каждый блок комплексного умножения будет иметь вид (рис. 3.35). Так как для данной схемы число ошибок равно М, а все значения  равны 1, то

и в соответствии с (3.48) получаем

Необходимо отметить, что для других структурных схем ре­ализации ЦСФ формула для  приобретает зависимость от , т. е. от параметров фильтра, что позволяет в ряде случаев снизить уровень шумов вычислений на его выходе [3,   19,   22].

Величина шумов вычислений на выходе ЦСФ, реализующих различные алгоритмы БПФ, зависит в общем случае от вида используемого алгоритма. Так как наиболее часто применяются алгоритмы с основанием 2, то определим дисперсию шумов вы­числений на выходе такого ЦСФ с прореживанием по времени (результаты анализа при использовании прореживания по частоте остаются примерно те же). С этой целью представим базовую операцию («бабочку») БПФ с учетом аддитивных шумов, возни­кающих при каждом комплексном умножении на множитель по­ворота Wⁱ_nв виде рис. 3.36.

При расчете результирующих шумов вычислений любой частот­ной выборки (G_m) БПФ должен быть учтен вклад каждого из источников шумов, влияющих на значение данной выборки. Для этого в качестве примера на рис. 3.37 представлены базовые операции для 8-точечного БПФ, участвующие в формировании первой и пятой частотной выборки. Из рис. 3.37 следует, что в вычислении каждой частотной выборки БПФ участвует (n—1)-ба­зовая операция. Сохраняя все предыдущие предположения о ста­тистических характеристиках элементарных источников шума  (к, т), делаем вывод, что дисперсия результирующих шумов вычисления   каждой   частотной   выборки   БПФ

Фактически не все базовые операции создают шумы вычисле­нии, так как некоторые (например, на первых двух этапах) вклю­чают в себя умножители на единицу. Поэтому выражение  (3 50)

необходимо рассматривать  как верхнюю границу дисперсии  вы­ходного   шума   вычисления   БПФ.

Рассмотрим третий источник собственных шумов ЦСФ—оши­бки за счет квантования значений весовых коэффициентов  фильтра. Такое квантование обусловлено ограничен­ностью разрядной сетки запоминающих устройств, в которых хра­нятся значения этих коэффициентов. Учитывая большое количест­во весовых коэффициентов, эффект их квантования можно заме­нить эффектом «дрожания», когда каждый весовой коэффици­ент заменяется его истинной величиной плюс последовательность белого шума. Несмотря на приближенность такого анализа, в среднем величина дисперсии «шума коэффициентов» на выходе ЦСФ оказывается при этом близка к реальной. Для определения дисперсии «шума коэффициентов»  на выходе ЦСФ во вре­менной области можно воспользоваться выражением (3.48), так как. «шум коэффициентов» аналогично шуму вычислений зави­сит от  вида  структурной  схемы  ЦСФ.  Подобный  анализ  может

быть проведен и при нахождении  на выходе вычислителя БПФ.

В работе [20] показано, что применение данной методики анализа «шум коэффициентов» дает отношение среднеквадратических значений шума и сигнала, равное , где Р—число этапов БПФ; — цена младшего разряда при округ­лении значений безразмерных весовых коэффициентов. На графи­ке рис. 3.38 представлены расчетное и экспериментальное (пунк­тир) отношение    как функция количества этапов БПФ.

Из рис. 3.38 следует, что экспериментальная кривая располагает­ся ниже теоретической на множитель, не превышающий двух, что, по-видимому, связано с точным представлением некоторых 'весо­вых коэффициентов в запоминающем устройстве вычислителя БПФ.

При использовании представления чисел с фиксированной за­пятой может -возникнуть дополнительный источник шумов—(ко­лебания (шумы) переполнения разрядной сетки сумматоров ЦСФ, особенно при большом числе временных выборок. Для исключе­ния этих шумов применяют так называемые сумматоры с насы­щением [9]. Фиксация переполнения в них достигается путем ис­пользования модифицированных кодов, содержащих h дополни­тельных значений знаковых разрядов, где h=int log₂k, а к—чис­ло слагаемых. Например, при наличии переполнения в процессе сложения двух чисел (h=1) модифицированный код суммы бу­дет принимать два значения 01 или 10.

Пример: суммирование двух положительных « двух отрица­тельных чисел при выходе суммы за пределы разрядной сетки (принятая в примере разрядная сетка обеспечивает представление двоичных чисел в пределах от 1.000000= (—64) до 0.111111 = ==(+63))

Модифицированный дополнительный код может быть использован также и при умножении чисел для представления множимого и частичных произведений с целью устранения переполнений при вычислении  частичных   сумм.

Оценку влияния переполнения на отношение сигнал-шум  на выходе ЦСФ, учитывая большой уровень вызывающего это переполнение принимаемого сигнала, обычно не производят. При выполнении условия  можно не учитывать влияние на  и шумов временной дискретизации в АЦП, вы­званных конечностью интервала дискретизации  (подразд. 2.6). Если же данное условие не выполняется, то необходим учет энергетических потерь высокочастотных составляющих спектра дискретизируемого сигнала, а также, при отсутствии высокоизби­рательных частотных фильтров на входе АЦП, потерь наложения спектров. Такая оценка произведена в работе [23] для случая цифровой (дискретной) обработки непрерывного гармонического сигнала с частотой ω на фоне стационарного гауссова шума n(t)   с   экспоненциальной   функцией   корреляции