Приемно-передающие устройства радио­технических систем: Учебное пособие, страница 33

Рассмотрим связь аналогового сигнала с соответствующим ему   цифровым   кодом.

2.6.2.  Связь между аналоговыми и дискретными сигналами

Согласно теореме Котельникова аналоговый сигнал с ограниченным спектром U (t) может быть точно (без потери информа­ции) преобразован в дискретный сигнал U(n) и затем точно восстановлен по отсчетам этого дискретного сигнала. Практически любой аналоговый сигнал имеет ограниченный спектр и поэтому может быть заменен при правильно выбранной частоте дискретизации   соответствующим   дискретным   сигналом.

Исследуем вопрос о тех преобразованиях спектра, которые наблюдаются при дискретизации произвольного аналогового си­гнала. Для этого обратимся к формуле (2ю2) и заметим, что дис­кретный сигнал U(n) является произведением аналогового си­гнала U(t) и так называемой дискретизирующей последователь­ности

образованной 8-импульсами, которые следуют через равные интер­валы времени . Как известно, спектр произведения двух сигна­лов выражается через свертку их спектральных плотностей. По­этому, если известны законы соответствия сигналов и спектров: , то спектральная плотность дискрет­ного   сигнала   U(n)   будет   равна

Для нахождения спектральной плотности    разложим  пе­риодическую функцию  в ряд Фурье:

Коэффициенты этого ряда

Если вынести 1/ из под знака    выражения (2.4) и реали­зовать преобразование Фурье, то  будет равно

т. е. спектр дискретизирующей последовательности состоит из бесконечной совокупности -импульсов в частотной области, располагающихся через одинаковые промежутки        .

Подставляя   (2.5)  в   (2.3)   и изменяя порядок следования опе­раций суммирования и интегрироващия, находим

или

Таким образом, спектр дискретного сигнала представляет со­бой (с точностью до масштабного множителя ) результат, сум­мирования бесконечного числа «копий» спектра аналогового сигна­ла. Эти копии располагаются на оси частот через равные проме­жутки   частот  .

Пусть спектр аналогового сигнала имеет вид, представленный на рис. 2.71,а. Если ширина спектра аналогового сигнала , то спектр дискретного сигнала в соответствии с выражением (2.6) имеет вид, представленный на рис. 2.71,6. Соответствующие спектры дискретного сигнала для ситуации, когда , показаны на рис. 2.71,2 и 2.71,в. Если , то отдельные ле­пестки спектра не накладываются друг на друга. Поэтому такой аналоговый сигнал может быть вновь восстановлен с помощью фильтра низкой частоты   (ФНЧ). Наибольшее допустимое значение шага дискретизации составит при этом , что полностью согласуется с теоремой Котельникова.

Идеальный ФНЧ, служащий для восстановления аналогового сигнала, должен иметь частотный коэффициент передачи

Однако такой ФНЧ физически нереализуем. Реальный ФНЧ имеет амплитудно-частотную характеристику, которая охватывает один или несколько лепестков спектра дискретного сигнала. Это приведет к искажению спектра исходного сигнала. Для уменьше­ния этого эффекта обычно выбирают , т. е. . Это условие несколько снижает требования к АЧХ ФНЧ и поз­воляет реализовать их на основе цифровых фильтров типа Чебышева или Баттерворта [13].

2.6.3. Погрешности квантования при аналого-цифровом преобразовании

На выходы АЦП с ФД (рис- 2.67) поступают аналоговые на­пряжения, которые изменяются В соответствии с динамическим диапазоном УПЧ по выходу. Эти сигналы дискретизируются, кван­туются и переводятся в цифровые коды. На выходе преобразова­теля сигнал представляется в формате с фиксированный запятой. Шаг квантования , определяющий точность преобразования, задается разрядностью преобразователя L (т. е. длиной его слова). Максимальное количество различных чисел, представленных с по­мощью двоичного кода разрядности L, равно

Отсюда для знакопеременного сигнала можно найти шаг кванто­вания:

где  U_Mакс  — максимальный уровень напряжения  на входе АЦП.

Соотношения   между   разрядностью   АЦП   и   величиной   шага квантования   проиллюстрируем   примером.

Пример    1.

Для АЦП типа 1107 ПВ2 максимальное значение знакоперемен­ного напряжения составляет 1В, при длине слова в 8 двоичных разрядов.   Тогда   шаг   квантования   равен

Амплитудный квантователь, как видно из его амплитудной ха­рактеристики (см. рис. 2.78), является нелинейным элементом. Квантование приводит к искажению дискретного сигнала, которое называется шумами квантования. На практике часто АК представ­ляют четырехполюсником, а выходное напряжение записывают как сумму истинного значения входного напряжения и отсчета шума квантования,   т.   е.

Учтем, что входной сигнал АЦП имеет полезную и шумовую со­ставляющие. Последняя обусловлена внутренними шумами прием­ного устройства и представляет собой стационарный белый гауссовый шум с известным распределением . Тогда   (2.й) приводится   к   виду

Если считать, что шум квантования представляет собой слу­чайный процесс, некоррелированный с сигналом и шумом прием­ника, то АК можно рассматривать как второй источник шума, обусловленного только квантованием. В литературе показано, что шум квантования имеет следующие статистические характеристики:

1)  Математическое   ожидание   шума   квантования

2) Дисперсия шума квантования

т. е. она равна одной двенадцатой квадрата разности между дис­кретными уровнями. Нетрудно заметить, что дисперсия шумов квантования совпадает с дисперсией случайной величины, распределенной равномерно на интервале от до . Это проис­ходит потому, что при малой величине разности между дискрет­ными уровнями погрешность квантования достаточно точно ап­проксимируется отрезками прямых линий (за исключением тех случаев, когда сигнал между дискретными уровнями проходит че­рез экстремум). Процесс квантования сигнала по амплитуде ил­люстрируется рис. 2.72.  С целью упрощения рисунка на нем  не

показана дискретизация  сигнала.  Из рисунка  видно,  что шумы квантования распределены равномерно в интервале от до  (рис   2.73).

3) Ширина   энергетического  спектра   шумов   квантования   су­щественно шире ширины спектра исходного квантуемого сигнала