Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 48

В основе механики тел переменной массы лежат уравнения неразрывности, количества движения, кинетического момента и ки-нитической энергии, а также закон независимого действия сил и ги­потеза близкодействия (контактного взаимодействия) частиц.

Уравнение неразрывности для потока переменной массы отли­чается от традиционного (24) наличием дополнительного члена, выражающего объемный характер присоединения или отбрасывания частиц, и может быть представлено в виде

dP + diVpv = J,                                                                       (87)

dt

где J - мощность стоков или источников массы флюида.

Физически это объясняется тем, что частицы присоединяются к основному потоку не на граничной поверхности, а, по предположению, равномерно, что является следствием дискретного характера флюида, в данном случае реального газа.

Осредняя уравнение (87) по сечению потока и переходя к одно­мерному уравнению, нетрудно видеть, что уравнение (87) принимает вид совершенно идентичный с аналогичным уравнением для потока постоянной массы (76) с подводом (оттоком) флюида через граничную поверхность.

Вторым фундаментальным уравнением механики потока переменной массы является закон сохранения (неуничтожимости) механического движения. Сущность этого закона состоит в том, что при любых механических процессах, протекающих в замкнутой сис­теме без действия внешних сил, суммарное количество движения ос­тается постоянным. В применении к потоку переменной массы это означает, что количество движения потока неременной массы до присоединения (оттока) частицы равно сумме количеств движения

112


основного потока и присоединяемой (отсоединяемой) частицы после ее присоединения (оттока), т.е. суммарное количество движения по­тока и присоединяемых (отсоединяемых) частиц остается постоян­ным.

Этот закон является основой механики потока переменной мас­сы, однако для составления уравнения движения этого недостаточно, - необходимо также использовать закон независимого действия сил и гипотезу о близкодействии, т.е.контактном взаимодействии от­брасываемых или присоединяемых частиц с основным потоком.

Первое из этих допущений сводится к тому, что силы в механи­ке не влияют одна на другую, т.е. в рассматриваемом случае приращения скоростей, вызванные присоединением (отбрасыванием) частиц и действием внешних сил, геометрически складываются. Второе допущение определяет характер взаимодействия частиц с по­током, т.е. считается, что в момент присоединения (отделения) час­тицы происходит удар, частица за очень малый промежуток времени получает относительную скорость и дальнейшее взаимодействие час­тицы и основного потока прекращается; таким образом изменение массы тела происходи! в моменты, отделенные друг от друга неко­торыми промежутками времени и притом каждый раз, по предположению, мгновенно.

Эта гипотеза позволила И. В. Мещерскому получить диф­ференциальное уравнение движения точки переменной массы в виде

1(Ш)=Р-*^,(88)

где М - масса основной точки; v-вектор движения основной точки; dM - масса присоединяемой (отбрасываемой) частицы; dt -промежуток времени между ударами; w - абсолютная скорость присоединяемой (отбрасываемой) частицы; Р - вектор внешних сил. Однако   нетрудно   видеть,   что   если   вектор   скорости присоединяемой (отбрасываемой) частицы перпендикулярен вектору скорости движения основной частицы, то после проектирования (83) на направление вектора скорости основной частицы получаем уравнение движения, совпадающее с аналогичным для механики тел постоянной массы.

113


Это замечание является существенным, поскольку в дальней­шем как раз и предполагается, что вектор скорости притока флюида перпендикулярен оси горизонтального ствола.

В общем случае уравнение (88) свидетельствует о том, что при отбрасывании (присоединении) частиц поток переменной массы ис­пытывает действие дополнительной реактивной силы.

Как было показано Н.А.Слезкиным, уравнение сохранения ко­личества движения тела переменной массы может быть записано в виде