Геология \ Разработка и проектирование месторождений природных газов

Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 44


о"


да


= pF +1\


(38)



где   /3 =

Pa =■ Ra I


= R0 I AVJ>y = Ry i AV\



AV = Ha\\j3\\rAaApAy.


101


Используя уравнение сохранения массы, это уравнение можно представить в виде системы трех скалярных уравнений:

+ry.   (39)

Заменяя в уравнениях (39) а,/3,у через другие ортогональные координаты и применяя соответствующие им коэффициенты Ламе, можно получить уравнение сохранения количества движения в лю­бой ортогональной системе координат В частности, в декартовой системе координат имеем а = х, /3 = у, у = z, На= Щ= Ну = 1. В этом случае уравнение (38) принимает вид где еж     dv     rJz                                                .,

(41)

и -&ХХ   .*>*     fo*z    »_<**
г ^ —     ~~   г                             г         •>  z —

ck     ду      dz           Зс     ду     dz

Соответственно в цилиндрической системе координат, т.е при а = г, /3 —<р^ у -■ х, На = 1, Нр = г, \\у = 1 получаем

)    Pr      ^\PW) ^\pz)  PF  P                                                          (42)

где   Р = егРг + е<1)Рф+ёхРх,сг^ех - единичные орты цилиндрической системы координат

р - дхгг  , Тгг~Тухр     dT^     1 fotpr

or         г         ск    г д<р

Or      ax    r o<p    r

Приведенные уравнения представляют собой диф­ференциальную форму закона сохранения количества движения, выраженную через компоненты напряженного состояния флюида.

Перейдем к выводу дифференциального уравнения сохранения полной энергии. Рассуждая аналогично предыдущему, запишем ло­кальную составляющую изменения полной энергии массы флюида,

102


заключенной в элементарный криволинейный параллелепипед, в ви­де

Для получения конвективной составляющей рассмотрим потоки энергии через грани параллелепипеда. Например, через грань параллелепипеда, образованную координатной поверхностью а =0 за время Дг, внутрь параллелепипеда будет перенесено следующее ко­личество полной энергии:


\  I


 (47)


Оставаясь в рамках механики сплошных сред, будем считать, что изменение полной энергии может происходить не только за счет входа и выхода масс через грани параллелепипеда, но и за счет переноса тепла процессом теплопроводности и, наконец, за счет эле­ментарной работы массовых сил и напряжений. Поэтому за время Д/ через поверхность «=0 вследствие теплопроводности будет перенесено следующее количество тепловой энергии:


(48)

д/?дгдг

L

Элементарные работы напряжений, распределенных на этой грани, составят

-(тауНр1\г\А/&у&.(49)

Рассматривая противоположную грань криволинейною параллелепипеда, получим те же уравнения, но с индексом "Да" вме­сто "0". Аналогичные уравнения можно получить и для других граней.

Приравнивая эти величины изменению полной энергии и со­вершая предельные переходы при Aa^i), Afi-rf), Лу-Ю, получаем закон сохранения энергии в дифференциальной форме [13]:


 (\

о


pv~+pe)


I-

\да д

ду


 \   -у

2 "


103


= pF■v +


да



 да


Н


(50)



где


- векторы напряжений:



та =


 таа


 = Ь


 Г«у ■


Уравнение Навье-Спгокса для движения однофазного флюида в горизонтальной скважине

Уравнение сохранения количества движения (38), (39) является одним из важнейших в гидродинамике, однако в этом виде оно не­пригодно для практического использования, поскольку в него входят и скорости, и напряжения. Для устранения этого недостатка восполь­зуемся уравнениями напряженного состояния флюида, устанавли­вающими связь между напряжениями и скоростью деформации, а также между скоростями деформации и скоростями движения флюи­да.

Связь между напряжениями и скоростью деформации определяется уравнениями

4а = г«« +Р= Л.0+2/4«?«„,                                                                          (51)

Т№ = где +Р= К02

- Tfia -

(52)

ау

Скачать файл