Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 38

Впервые попытка учесть влияние изменения расхода флюида по пути его движения на гидродинамические параметры потока была предпринята Л.С. Лейбензоном для случая движения нефти или газа в трубе с пористыми стенками [1,2]. Предложенный им метод расчета был основан на совместном решении одномерных стационарных уравнений сохранения массы и количества движения флюида в трубе. В дальнейшем эта идея была развита и применена для расчета параметров потока флюида в горизонтальной скважине [3,4].

Чрезвычайно бурное развитие методов расчета гидродина­мических параметров нестационарных потоков с изменяющимся по оси расходом началось в 60-е годы и было связано с развитием теории ракетных двигателей на твердом топливе. Как правило, эти методы основаны на совместном решении фундаментальных уравне­ний гидрогазодинамики (сохранения массы, количества движения и полной энергии потока).

Однако, несмотря на некоторую аналогию явлений, полученные ранее результаты не отражают в полной мере специфики работы горизонтальной скважины и поэтому ниже в рамках механики сплошных сред приводится систематический вывод уравнений со­хранения массы, количества движения и полной энергии однофазно­го флюида при движении его в необсаженном горизонтальном стволе скважины.

Предварительно введем некоторые основные понятия:

М = \pdV - масса флюида в объеме V;

V

к = \pvdV    - количество движения массы М;

V

г (v2     \

Е = J р\ — + е \dV - полная энергия массы М;

v2/2                   - кинетическая энергия единицы массы;

е = ет + £<?,-       - внутренняя энергия единицы массы, где р -плотность флюида; v- вектор скорости флюида; V - объем; v - модуль скорости; ет - тепловая энергия, т.е. суммарная кинетиче­ская энергия хаотического движения молекул флюида; е,-- составляю-84


щие внутренней энергии, связанной с движением составляющих мо­лекулу частиц - атомов окружающих их электронов, а также энергия химической связи в молекуле и т.д.

Л Интегральная форма уравнений движения флюида

Основными фундаментальными уравнениями движения флюида являются уравнения сохранения массы, количества движения, мо­мента количества движения и полной энергии.

Рассмотрим уравнение неразрывности, выражающее в матема­тической форме закон сохранения массы. В рамках механики сплош­ных сред, т.е. для процессов, не сопровождающихся возникновением или исчезновением массы, или^что то же для тел постоянной массы, этот закон формулируется следующим образом: масса флюида, ко­торая находилась в некоторый момент в рассматриваемом объеме, будет оставаться неизменной при ее движении, т.е. субстанциальная производная массы по времени равна нулю.

DM

= 0.                               (1)

где   — = --■ - '     ч

ik - единичный вектор, V - оператор набла , точка означает скалярное произведение.

Субстанциальная производная DM/Dt складывается из локаль­ной производной дЫ/dt, учитывающей нестационарность перемеще­ния частицы, и конвективной производной.

С другой стороны, изменение массы при движении флюида мо­жет происходить как за счет изменения плотности, так и за счет из­менения объема, который может занимать масса в последующие мо­менты. В соответствии с этим закон сохранения массы можно запи­сать в виде [5]

^ = j|^ + Jw,, = O,                                                  (2)

V а                                  л

где первый член представляет собой изменение массы флюида в еди­ницу времени за счет изменения плотности, второй - за счет измене­ния объема; s - поверхность, ограничивающая объем; ■уп- нормальная составляющая скорости в данной точке поверхности. Уравнение (2) можно также получить, используя альтерна­тивную формулировку закона сохранения: сумма массы, втекающей в

85


единицу объема в единицу времени, и массы, вытекающей из того же объема за тот же промежуток времени, равна изменению массы, происходящему в единицу времени вследствие изменения плотности

Уравнение (2) выражает закон сохранения массы в интеграль­ной форме.