Геология \ Разработка и проектирование месторождений природных газов

Вопросы методологии и новых технологий разработки месторождений природного газа. Часть III (Сборник научных трудов), страница 39

Для вывода уравнения сохранения количества движения вос­пользуемся теоремой об изменении главного вектора количества движения: "Производная по времени от главного вектора количеств движения системы равна главному вектору внешних силм ^пло­женных к системе" [7] или "приращение количества движения сис­темы материальных точек на каком-либо элементарном перемеще­нии равно импульсу всех внешних сил, действовавших на точки сис­темы за время этого перемещения" [8].

В применении к движущемуся флюиду эта теорема форму­лируется как закон сохранения количества движения, согласно ко­торому изменение вектора количества движения К постоянной мас­сы М, находящейся в объеме V в момент времени t, в единицу времени равно геометрической сумме внешних сил ZF,, действующих на рассматриваемую массу, т.е.  ДАТ = £ /г. -At.

Закон сохранения количества движения может быть выражен в виде следующей формулировки: "Субстанциальная производная от главного вектора количества движения "жидкого" объема равна глав­ному вектору внешних объемных и поверхностных сил, приложен­ных к частицам, расположенным соответственно в объеме или гра­ничной поверхности [7], т.е.

-ZF,                                    (3)

В соответствии с этой формулировкой закона уравнение^(З) можно представить в виде

-—-=\pFdV-\pndS,\TndS,                                                    (4)

L)l    v                   s              л

Здесь первый член в правой части равенства представляет собой объемные силы, а второй и третий - поверхностные силы;

F - суммарная сила, действующая на единицу массы флюида; рЯ-вектор сил давления, действующих по нормали к элементу по86


верхности S; Тп~ вектор сил трения, лютвующих на площадку с нормалью п.

Субстанциальную производную от количества движения по времени можно представить в виде


(5)

= — \pvdV = \р          d\ +  v —[pdV ).

Dt

Dt    Dt\,                     Dt        I   "A>" f

о^

Второй интефал в правой части уравнения (5) пропадает, т.к. масса любой частицы на основании закона сохранения не изменяется и, следовательно, D{pdV)i Dt = 0 в соответствии с формулой (1).

Используя очевидное тождество


dv

dv

Dv


dv   dv

 a    x ас    y dv   2 dt   a  v    ;


(6)


где vx,Vy,vz - проекции вектора v на оси х, у, z; V- оператор-набла; точка означает скалярное произведение, запишем уравнение (5) в виде

D г   —       t  dv       t
— j pvdV - j d—dV + Гpiv- V)vdV                                                                      (7)

Dtf,      {, a    ,J

 ^

d

—

dz

Преобразуем второй интеграл в правой части этого выражения в поверхностный, для чего прибавим и вычтем в подинтегральном выражении одинаковую величину

Г

\(pvx)+ \-\_cx     '     dy

Используя развернутую и сокращенную записи этой величины, получим



V;


v - vdiv^pv)

dy

d

"dl

= I

1

- vdiv^pv^j

v

К первым трем членам подынтегрального выражения применим теорему Остроградского-Гаусса, а в последнем произведем замену на основании закона сохранения массы:


87


div(pv) - -dp I dt, после чего получим [9]

Jp(y ■ V)vdV = J/p[vvx('os{n,x) + vVvCos(n,y)

4- v vzCos(n,z)]dS + | v

где (n,x), (n,y), (n,z) - углы между нормалью к граничной поверхности и осями х, >>, г соответственно.

С учетом этого выражения субстанциальную производную от количества движения по времени можно записать в виде

In    v  dt       у  a       v                                                 t, a                                                                      s

После подстановки этого соотношения в уравнение (4) получим уравнение сохранения количества движения в интегральной форме:


Скачать файл