Структурный анализ и синтез рычажных механизмов. Кинематический анализ рычажных механизмов. Динамика машин с упругими звеньями, страница 8

Механизмы двух модификаций, состоящие из входного звена OA и структурных  групп с кулисами  представлены на рис. 2.11, 2.12. Ось кулисы в общем случае может быть смещена как от шарнира A на величину l2, так и от опоры B на величину b. Смещения на рисунках показаны положительными. Введем в рассмотрение вектор l3* из точки A в точку B, который соответствует положению кулисы при отсутствии смещений. Найдем сначала решение для этого случая (все величины, помеченные ниже звездочкой  относятся к случаю l2 = b = 0).

2_11
Если занумеровать звенья так, как это показано на рис. 2.11, 2.12, то уравнение замкнутого векторного контура для обеих модификаций запишется одинаково:

-       -       -

l1  +  l3*l4  = 0 .

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что

j= 180О = Const, а  l1cos j1 = xA,   l1 sin j1 = yA – координаты входного шарнира  A,  получим:

( 2.23 )xAl3* cos j3*  –  l4  = 0;

yAl3* sin j3*  = 0.

Из системы ( 2.23 ) находим:

 

( 2.24 )

 

 

 

 

 

 

 

2_12

Отметим, что при вычислении по формулам ( 2.24 ) результат l3* = 0 является признаком неработоспособности механизма если в процессе движения входное звено должно проходить положение ( xA = l4 , yA = 0 ).

Для определения угловой скорости кулисы  w3*  и скорости ползуна относительно кулисы V3* продифференцируем систему ( 2.23 ) по времени:

VAx ( 2.25 )+ V3* cos j3*  –  l3 w3* sin j3*  = 0 ;

VAy + V3* sin j3*  l3 w3* cos j3*  =  0.

где: VAx,VAy – проекции скорости входного шарнира A (см. уравнения ( 2.20 ).

Система ( 2.25 ) линейна относительно w3*, V3*  т.е. легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя ( 2.25 ) по времени, получим систему уравнений для определения углового ускорения кулисы e3* и ускорения ползуна относительно  кулисы  a3*:

( 2.26 )aAx+a3* cosj3* – 2V3* w3* sinj3* l3* e3* sinj3* l3* w3*2 cosj3* = 0;

aAy+a3* sinj3*+ 2V3* w3* cosj3* + l3* e3* cosj3* l3*w3*2 sinj3*= 0.

где:  aAx, aAy– проекции ускорения входного шарнира  A  на  оси  неподвижной  системы  координат  OXY ( см. уравнение ( 2.16 ).

Кинематические параметры движения кулисы при наличии смещений l2, b (см. рис.  2.11, 2.12)  получим через параметры движения вектора l3*, который  повернут  относительно  вектора  l3  на  угол ¡ :

¡  = arcsin((b – l2 )/l3* );      j3  = j3*  + ¡ ;       l3  = l3* cos ¡ .                ( 2.27 )

На рис. 2.11, 2.12 показаны положительные смещения  l2 и b.

Дифференцируем  дважды  по  времени  выражения  для  j3  и  l3:

.                           ..

w3  = w3*  + ¡ ;      e3  = e3*  + ¡ ;

.

V3  = V 3* cos ¡ –  l3* ¡ sin ¡ ;                                                                 ( 2.28 )

.                    ..              .

a3  = a3* cos ¡  – 2 V3* ¡ sin ¡  –  l3*(¡ sin ¡ + ¡2 cos ¡ ),

Необходимые для вычисления по формулам ( 2.28 ) производные от ¡, определим  последовательно  дифференцируя  первое  из  выражений ( 2.27 ):

( 2.29 )


2.4. Метод  преобразования  координат

2_15Во всех рассмотренных выше задачах выбиралась такая система координат OXY, в которой уравнения кинематики имеют наиболее простой и удобный для решения вид. Однако конечный результат часто бывает необходимо получить в некоторой неподвижной системе координат, в которой рассматривается весь механизм в целом. Кроме того, полученные в подразделе 2.3 выражения не позволяют определять кинематические параметры движения произвольных точек на звеньях механизмов, например, центров масс, рабочих органов и т.п. Все эти проблемы удобно решать методом  преобразования  координат.

Рассмотрим данный метод в общем виде. Пусть АВ (рис. 2.15) некоторое k-е звено механизма и требуется определить кинематическое параметры движения точки “S” этого звена с неподвижной системе координат  (НСК)  OXoYo.